Homología de nudo específico, utilizando como técnicas elementales como sea posible.

Question

Ver aquí para el cálculo de la ordinaria de homología de un nudo complementar $S^3 \setminus K$.

Si $K \subset S^3$ es un nudo, a continuación,$$H_*(S^3 \setminus K) = \begin{cases} \mathbb{Z}, & * = 0, 1 \\ 0, & * \ge 2.\end{cases}$$

Pregunta. ¿Cómo puedo ver que esto es cierto para $K$ el nudo de trébol?

En lo que he enlazado más arriba, la prueba en el caso general, para todos los nudos invoca cosas de los capítulos 3 y 4 de Hatcher y más allá, como la de Alexander dualidad, la dualidad de Poincaré, el universal coeficientes teorema de la transversalidad, y el tubular barrio teorema.

Pero me gustaría evitar el uso de técnicas desarrolladas más allá (o fuera) de los dos primeros capítulos de Hatcher.

Answer 1

considerar tubular vecindario $T\supset K$. tenga en cuenta que $S^3\setminus K$ es homotopy equivalente a $S^3\setminus T$ (denota por $X$, para abreviar). tenemos la siguiente larga secuencia exacta:

$$ \ldots \a H_k(X)\a H_k(S^3)\a \tilde H_k(S^3/X)\a H_{k-1}(X)\a \ldots $$

la homología de la el espacio de $S^3/X\simeq T/\partial T$, se puede calcular mediante la consideración de un nudo trivial para $K$: $H_3(S^3/X)=H_2(S^3/X)=\mathbb Z$ $0$ lo contrario.

a continuación, para el uso de la larga secuencia en caso arbitrario $K$ tenemos que calcular el primer trivial flecha $H_3(X)\to H_3(S^3)$. es un isomorfismo, porque $S^3/X$ tiene algún tipo de fundamental $3$-clase, y obviamente que está cubierto por la clase fundamental de $S^3$ (más formalmente, se puede construir un $CW$-descomposición de $S^3$ dos $3$las células: uno para $T$ y el segundo para $X$. la imagen de la primera $3$-célula será el generador de $S^3/X$)