$\ln(x^2)$ contra. $2\ln(x)$

Question

¿Son las siguientes funciones iguales o una es la restricción de la otra?

$f(x) = \ln(x^2)$

$g(x) = 2\ln(x)$

Mi libro dice que $g(x)$ es la restricción de $f(x)$ a $\mathbb{R^+}$ y puedo comprobarlo en mi calculadora.

Pero eso no tiene ningún sentido para mí. ¿No debería $2\ln(x) = \ln(x^2)$ ? ¿O es porque mi calculadora hace $\ln(x)$ primero, y luego multiplica el resultado por 2, y así $x$ no puede tomar un valor negativo?

¿Significa esto que estas funciones son analíticamente iguales pero diferentes en la práctica? ¿O esto ocurre sólo porque así está programada mi calculadora?

¿Puede alguien explicarme esto?

Answer 1

La función $f(x)$ tiene como dominio $x\ne0$ , $g(x)$ tiene $x>0$ como dominio por lo que son diferentes. De hecho $\ln(-4)^2$ existe para la primera función, no para la segunda $2\ln(-4)=???$ . Puede transformar la primera función en $2\ln|x|$ pero hay que prestar atención a poner el valor absoluto para que el dominio siga siendo el mismo.

Answer 2

$\ln x^2 = 2 \ln \vert x \vert$

El logaritmo de un número negativo requiere adentrarse en el terreno de los números complejos. Véase aquí .

Resulta que $2\operatorname{Log}(-5) = 2\ln 5 +\pi i$ para la llamada rama principal del logaritmo complejo, que es una buena cosa para buscar en Google si estás interesado.

Answer 3

$\ln(x)$ dominio es $\mathbb{R}^+$ por lo que cualquier función utilizada como argumento no debe tener un rango que exceda $\mathbb{R}^+$ . $x^2$ de la gama $\mathbb{R}^+$ mientras que $x$ es el rango de $\mathbb{R}$ .