Hace un dualizing gavilla $\omega_X$ dar lugar a un dualizing módulo?

Question

Deje $X = \text{Proj } R$ ser un proyectiva equidimensional Cohen-Macaulay esquema, donde $R$ es un finitely generado gradual de Cohen-Macaulay $\mathbb{C}$-álgebra y $\mathcal{O}_X(1)$ es suficiente. Supongamos que la inducida por homomorphism $R \to H^0(X,\Gamma_*(\mathcal{O}_X))$ es un isomorfismo, donde $\Gamma_*(\mathcal{O}_X) = \bigoplus_{d \in \mathbb{Z}} \mathcal{O}_X(d)$.

Deje $\omega_X$ ser un dualizing gavilla de $X$. Es cierto que $H^0(X,\Gamma_*(\omega_X))$ es un dualizing módulo para $R$?

Answer 1

La respuesta debe ser positiva, como sigue (detalles de la necesidad de rellenar).

Trabajo fuera el caso de que $R$ es un polinomio anillo de más de $\mathbb{C}$ (si no lo has hecho ya). A continuación, utilizar ese arbitrario $R$-Cohen-Macaulay o no-es finita sobre un polinomio de anillo, y que si $f: X \to Y$ es finita mapa de esquemas y $\omega_Y$ es dualizing para$Y$, la gavilla$$f^! \omega_Y := \text{Hom}_Y(f^* \mathcal{O}_X, \omega_Y)$$is dualizing for $X$, as is the case for the corresponding statement about graded $\mathbb{C}$-álgebras.

Primero de todo, yo no asumo que el anillo de ser clasificados por elementos de la $R_1$. Así lo finito de morfismos $X \to Y$ sería en un promedio ponderado de espacio proyectivo $Y$.

Usted podría comenzar con la dualizing gavilla para ponderado proyectiva del espacio; pero no he pensado en esto. Ver, por ejemplo, aquí.