Hay una elegante manera de demostrar que una función es lineal?

Question

Estoy leyendo Hoffman y Kunze del álgebra lineal libro y en la página 73 en el ejercicio 7, se preguntan para verificar esta función

$$T(x_1,x_2,x_3)=(x_1-x_2+2x_3,2x_1+x_2,-x_1-2x_2+2x_3)$$ es una transformación lineal.

Este ejercicio es muy simple, pero un poco tedioso. Tenemos que definir arbitraria $u=(x_u,y_u,z_u)$ $v=(x_v,y_v,z_v)$ elementos de $F^3$ y el espectáculo $T(u+v)=T(u)+T(v)$$T(ku)=kT(u)$$k\in F$. (podemos ver $F$ $\mathbb R$ o $\mathbb C$)

Hay una forma más elegante para probar esta función es lineal?

Answer 1

Se puede observar que la función está compuesto de pequeñas funciones lineales. Usted sabe que $f(x) = x$ es lineal y así es $f(x,y,z)=x$. También que la suma de funciones lineales $f+g$ es lineal, así como un escalar multiplicador $2f$. Finalmente, para el lineal $f,g,h$, la función de $x \mapsto (f(x), g(x), h(x))$ también es lineal.

Cuando usted sabe que todos los de la anterior, se puede decir que el $F$ es de estos de la linealidad de la preservación de las composiciones y unos obviamente funciones lineales. Que debe ser una buena prueba suficiente.

Answer 2

Quizás la manera más fácil es comprobar la función actúa como una matriz, y en este caso (y en muchos más) podemos hacerlo fácilmente:

$$T(x_1,x_2,x_3)=(x_1-x_2+2x_3,2x_1+x_2,-x_1-2x_2+2x_3)=\begin{pmatrix}1&-1&2\\2&1&0\\-1&-2&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}$$

Observar que simplemente tomé cada una de las coordenadas en la imagen y "split" en sus componentes $\;x_1,x_2,x_3\;$ .

Usted también puede tratar de probar que los poco más complicado:

Lema: vamos a $\;T:\Bbb F^n\to\Bbb F^m\;,\;\;\;\Bbb F\;$ un campo, una función dada de las componentes:

$$T\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\ldots\\x_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}T_1(x_1,...,x_n)\\T_2(x_1,...,x_n)\\\ldots\\T(x_1,...,x_n)\end{pmatrix}\;,\;\;\;\text{with}\;\;T_i:\Bbb F^n\to\Bbb F$$. Then $\;T\;$ is a linear map iff for all $\;i=1,...,n\;$ , the map $\;T_i\;$ is a homogeneous polynomial in $\;x_1,...,x_n\;$ of degree $\;1\;$ .

Answer 3

Usted puede escribir lo anterior como:

$T(x_1,x_2,x_3)=x_1(1,2,-1)+x_2(-1,1,-2)+x_3(2,0,2)=\alpha x_1+\beta x_2+\gamma x_3$

donde $\alpha,\beta,\gamma$ son fijos.

a continuación, $T(x_1+y_1,x_2+y_2,x_3+y_3)=\alpha (x_1+y_1)+\beta( x_2+y_2)+\gamma (x_3+y_3)=$

$T(x_1,x_2,x_3)+T(y_1,y_2,y_3)$

Answer 4

Yo diría que, una vez que se han introducido a las matrices, una (pharisianist ?) la respuesta es

"La definición de $T$ : $(x_1,x_2,x_3)\mapsto(y_1,y_2,y_3)$ es equivalente a la ecuación matricial:

$$\pmatrix{y_1\\y_2\\y_3}=\left(\begin{array}{rrr}1&-1&2\\2&1&0\\-1&-2&2\end{array}\right)\pmatrix{x_1\\x_2\\x_3}$$

el cual es conocido por ser un operador lineal."

Answer 5

Sí. Mostrar que todos los de 2º orden derivadas son cero, y que el origen es una solución.
(Esto último sólo es necesario si te refieres a la lineal álgebra sentido de "lineal".)