¿La notación se vuelve alguna vez "más fácil"?

Question

Estoy en mi primer semestre de la universidad yendo a la carrera de matemáticas y es bastante genial. Me está yendo bien, sin embargo, parece que hay una gran brecha entre la dificultad/complejidad de una idea y lo enrevesado de su presentación .

Permítanme poner un ejemplo: En Análisis discutimos el teorema de Bolzano Weierstrass y uno de los lemas mostraba que toda secuencia en $\mathbb{R}$ tiene una subsecuencia monótona. La idea detrás de la prueba con los puntos máximos ( hablando coloquialmente aquí ) es súper simple y bastante elegante si me preguntas, pero pasé una cantidad significativa de tiempo tratando de entender la notación del profesor hasta que fui a este sitio para leer una "explicación adecuada" de la prueba, que tenía una notación mucho más simple en ella.

Extraer la idea de la prueba me llevó mucho tiempo debido a la extraña notación, pero una vez que entiendes lo que sucede, es realmente fácil. La mayor parte del tiempo dedicado al estudio de las clases consiste en escarbar en las formalidades.

¿Tengo que dedicar más tiempo a repasar realmente todos los detalles formales de una demostración para acostumbrarme a esa formalidad? ¿O los matemáticos más avanzados también se esfuerzan por extraer las ideas de la notación?

Supongo que llegará un momento en el que la idea en sí sea la parte más compleja, así que no quiero quedarme atascado en la notación, cuando eso ocurra.

( Verificación de la prueba - Cada secuencia en $\Bbb R$ contiene una subsecuencia monótona si está interesado )

Answer 1

Como han señalado otros, la cosa mejora mucho si es tu primer semestre. Pero, según mi experiencia, no hay mucho alivio entre, digamos, los años 2 y 4 de tus estudios. Claro, te vuelves más maduro, pero el material también se vuelve más difícil.

Para responder a tu pregunta de si "los matemáticos más avanzados también luchan por extraer las ideas de la notación", me gustaría citar a V.I. Arnold, ya que creo que va exactamente en el sentido de tu frustración.

Me resulta casi imposible leer a los matemáticos contemporáneos que, en lugar de decir "Petya se lavó las manos", escriben simplemente: "Hay un $t_1<0$ tal que la imagen de $t_1$ bajo la cartografía natural $t_1 \mapsto {\rm Petya}(t_1)$ pertenece al conjunto de manos sucias, y un $t_2$ , $t_1<t_2 \leq 0$ , de manera que la imagen de $t_2$ bajo la cartografía mencionada pertenece al complemento del conjunto definido en la frase anterior.

La contrapartida es clara: sin rigor, las matemáticas habrían sido un auténtico desastre. Pero si el rigor es la única forma de comunicar las matemáticas a alguien, esta persona simplemente no tendrá tiempo para llegar lejos en las matemáticas.

Answer 2

La pregunta que debes hacerte es: "Si una conferencia sólo contuviera ideas e intuiciones sin formalidades rigurosas, ¿sería capaz de escribir pruebas formales por mi cuenta?"

Si la respuesta es "sí", enhorabuena, eres un joven matemático muy prometedor. Si no es así, estás en el mismo barco que la mayoría de nosotros cuando empezamos a estudiar matemáticas (aunque puede que sigas siendo un joven matemático prometedor).

El caso es que el lenguaje formal es una necesidad cuando queremos exponer claramente nuestras ideas, comprobar si son correctas y compartirlas con los demás. Claro que dos expertos en un campo pueden no necesitar ser muy formales cuando se comunican entre sí y aun así entender perfectamente lo que quieren decir y tú, que escuchas la conversación, puedes no entender nada de lo que han dicho. Si te interesara, querrías que te dijeran las definiciones formales y los teoremas correspondientes. Tal vez quieras conocer detalles concretos de alguna prueba y saber cómo se llega a las conclusiones deseadas. Esto no sería posible sin un contexto formal. Por otra parte, incluso dos expertos podrían estar en desacuerdo, en cuyo caso volverían a ser formales para aclarar las cosas a su satisfacción. La falta de rigor puede ocultar errores sutiles y todos hemos caído en ella en algún momento. De ahí que sea esencial para cualquier matemático ser capaz de leer pruebas formales y escribir las suyas propias.

Los cursos iniciales de matemáticas deben enseñarte el rigor y el lenguaje formal para prepararte a entender los temas avanzados. Puede que te cueste ahora, pero cuando lo entiendas, lo agradecerás mucho. El objetivo del aprendizaje de las pruebas se desplazará más hacia la comprensión de las ideas implicadas y no del lenguaje formal, pero en ese momento deberías ser capaz de escribir ideas formalmente y juzgar su corrección por ti mismo.

Para ser justos, estoy de acuerdo en que algunos autores son demasiado entusiastas con el lenguaje formal mientras desprecian la intuición y las ideas. Pero, para eso está la facultad, los profesores y asistentes de enseñanza están para explicar y aclarar. En caso de duda, hay que pedirles ayuda.

Answer 3

Si es el primer semestre que tomas una clase basada en pruebas, es muy típico que te lleve mucho tiempo asimilar las pruebas. Cuantas más clases de matemáticas tomes, más fluida será la lectura y comprensión de las pruebas. Se mejora.

Answer 4

Creo que no estoy de acuerdo con el comentario de @littleO de que

...una de las principales dificultades en el aprendizaje de las matemáticas es que a menudo las cosas no se explican muy bien...

Yo solía compartir esta opinión. Pero en realidad creo que es más acertado darse cuenta de que las cosas son realmente complicadas y que entenderlas bien sólo ocurre en tu propia mente. Y esto lleva mucho tiempo.

Cuando intentas entender por primera vez unas matemáticas, una determinada forma (probablemente demasiado simplificada) de verlas puede tener más sentido para ti (por ejemplo, sólo la "idea principal" presentada de forma no rigurosa).

Para dominar esta pieza matemática, es posible que leas varias explicaciones diferentes, que pienses en ella de distintas maneras y que hables con distintas personas. De este modo, aprenderás datos adicionales, pondrás a prueba y ampliarás tus conocimientos. etc. hasta que finalmente entiendas mucho mejor esta pieza matemática. Y una vez que lo entiendas bien, la explicación que tiene más sentido para ti habrá cambiado. Entonces, milagrosamente

por fin encuentras una explicación de alguien que ha entendido la idea

Pero en realidad, lo importante es que eres tú quien finalmente ha "entendido" algo. Si te hubieran dado esta explicación al principio, tal vez no te hubiera resultado tan útil porque quizá no estabas preparado para escucharla.

Para comentar tu ejemplo específico de Bolzano-Weierstrass/existencia de subsecuencias monótonas: La idea detrás de la prueba es elegante y simple y tal vez usted realmente lo entendió rápidamente. ¡Esto es genial!

PERO, (y no puedo enfatizar esto lo suficiente):

la prueba en sí misma no es lo mismo que la idea que la sustenta; tampoco consiste sólo en escribir la idea que la sustenta

Así que tiene mucho sentido que la prueba sea complicada y no sea fácil de entender, mientras que la idea principal es sencilla.

Usted preguntó

¿Tengo que dedicar más tiempo a revisar realmente todos los aspectos formales detalles de una prueba para acostumbrarme a esa formalidad?

Por lo general, hay que dedicar mucho tiempo a las pruebas rigurosas para entenderlas en detalle. Una vez que se adquiere experiencia y conocimientos en un área determinada de las matemáticas, esto resulta más fácil. (Será más fácil para las pruebas en ese ámbito (porque un área diferente de las matemáticas tendrá una notación diferente y diferentes convenciones, por lo que no toda esta experiencia es transferible).

¿O los matemáticos más avanzados también luchan por extraer las ideas de la notación?

Es absolutamente cierto que los matemáticos más avanzados también tienen que dedicar mucho tiempo a extraer ideas de las pruebas. Pero, de nuevo, el nivel de conocimientos frente al contexto sí importa: Un matemático experimentado que haya pasado por muchas, muchas pruebas de análisis básico será capaz de hojear dichas pruebas en busca de las ideas principales. Pero al leer un nuevo documento de investigación técnica, tendrá que dedicar tiempo a repasar las pruebas cuidadosamente para construir lentamente la intuición.

Answer 5

"...en matemáticas no se entienden las cosas. Sólo te acostumbras a a ellas".
- John von Neumann

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