Espacio dual de un espacio dual = ¿qué?

Question

Por favor ayudarme a entender este poco de álgebra lineal.

Supongo que $V$ es un espacio verdadero del vector.

$V^*$---Su espacio dual---es el espacio del vector de mapas lineares $V\to \mathbb R$

Entonces, ¿cómo interpreto $(V^*)^*$?? El espacio dual del espacio dual??

¡Gracias!

Answer 1

El espacio de lineal mapas de $\ell : V \rightarrow \mathbb{R}$ es en sí mismo un espacio vectorial, con pointwise la suma y la multiplicación escalar de funciones. Por lo tanto, $(V^*)^*$ es el dual de este espacio vectorial.

Hay un canónica transformación lineal $\xi : V \rightarrow (V^*)^*$ definido por $\xi(v) = \xi_v$ donde $\xi_v : V^* \rightarrow \mathbb{R}$ es el lineal mapa dado por $\xi_v(\ell) = \ell(v)$. El mapa de $\xi$ es inyectiva, por lo que al $V$ es un finito dimensional espacio vectorial, el mapa de $\xi$ es un (canónica) isomorfismo $V \cong (V^*)^*$. Sin embargo, $\xi$ no es necesariamente un isomorfismo si $V$ es de infinitas dimensiones.