Los números PRIMOS es en P, página 4, la ecuación (5)
Edit: yo probablemente debería añadir que $p$ es un primer factor de algunos $n$. $a$ es cualquier número de 1 a algunas irrelevante límite. $r$ también no importa porque la medida de lo que puedo ver nada sabemos al respecto es relevante. Edit 5: es que $gcd(r,p)=1$, el que yo uso en la respuesta a continuación.
Estamos en $\mathbb{Z}[X]/(X^r-1,p)$. Los autores afirman
$$(X+a)^{n} \equiv X^{n}+a~~~(3)$$
junto con
$$(X+a)^{p} \equiv X^{p}+a~~~(4)$$
implica
$$(X+a)^{\frac{n}{p}} \equiv X^{\frac{n}{p}}+a~~~(5)$$
He intentado probarlo y aún sin usar (3) o (4), todo lo que obtuve fue una contradicción. Donde está mi error y lo que es el correcto de la prueba?
Mi intento: Supongamos que (5) se mantiene, entonces:
$$X^{\frac{n}{p}}+a \equiv (X+a)^{\frac{n}{p}} \equiv \sum_{k=0}^{n/p} \binom{n/p}{k}X^{\frac{n}{p}-k}a^{k}$$
$$\implies \binom{n/p}{k}X^{\frac{n}{p}-k}a^{k} \equiv 0~~~\forall 0 < k < \frac{n}{k}$$
Deje $k=1, p \not | a, p^2 \not| n$: $$\implies \binom{n/p}{1}X^{\frac{n}{p}-1}a^{1} \equiv \frac{n}{p}X^{\frac{n}{p}-1}a \not \equiv 0 \text{ - contradiction to the previous line}$$
Edit2:
Quiero añadir que este claramente se cumple para cualquier número de $c$ que nos enchufe en el polinomio, ya que el valor de $(c+a)^{\frac{n}{p}} \equiv (c+a)^{p\frac{n}{p}} \equiv (c+a)^n \equiv c^n+a \equiv c^{p\frac{n}{p}}+a \equiv c^{\frac{n}{p}}+a$. Pero la instrucción es que los polinomios son iguales. Eso es claramente lo que se entiende por los autores, porque de lo contrario (4) sería trivial.
Edit3:
La demanda también puede ser fácilmente comprobado por $X^p$ en lugar de $X$, pero no estoy seguro de si eso de cualquier uso:
Lado izquierdo de (3): $$(X+a)^{n} \equiv (X+a)^{p \frac{n}{p}} \equiv (X^p+a)^{\frac{n}{p}}$$ El lado derecho de la (3): $$X^n+a \equiv X^{p \frac{n}{p}}$$ Y juntos: $$\implies (X^p+a)^{\frac{n}{p}} \equiv X^{p \frac{n}{p}} \text{ in } \mathbb{Z}[X]/(X^r-1,p)$$ Ahora si $r$ fue un múltiplo de $p$ (que no es), se podría sustituir la $X^p$$X$, lo que nos daría (5) en $\mathbb{Z}[X]/(X^{r/p}-1,p)$, que debe implicar (5) en nuestro original anillo de $\mathbb{Z}[X]/(X^r-1,p)$ desde $X^{r/p}=1 \implies (X^{r/p})^{p}=1$. Pero tal vez esto va en la dirección correcta?
Edit4:
También puede ser probado que ambos lados de (5) son iguales al ser elevado a la potencia de $p$. Esto parece la más cercana a la real demanda, pero no puedo pensar en un argumento de por qué implicaría (5).
Lado izquierdo de (3): $$(X+a)^n \equiv ((X+a)^{\frac{n}{p}})^p$$
Lado derecho de (3): $$X^n+a \equiv X^{p \frac{n}{p}}+a^p \equiv (X^{\frac{n}{p}}+a)^p$$
Juntos: $$\implies ((X+a)^{\frac{n}{p}})^p \equiv (X^{\frac{n}{p}}+a)^p$$
