¿Es la integral gaussiana el único que se puede solucionar fácilmente con este truco integral doble?

Question

Para muchas personas, la forma favorita de la solución integral de Gauss $I=\int^{\infty}_{-\infty} e^{-x^2} dx$ es encontrar a $I^2$ en coordenadas polares y, a continuación, tomar una raíz.

El truco puede ser útil en este caso, pero tengo problemas para encontrar cualquier otra integral que puede ser aplicado. La obvia condición para la función integrada es:

$$f(x) \cdot f(y)=g(x^2+y^2)=h(|r|)$$

Yo no conozco a ninguna otra función aparte de $e^{bx^2}$ que cumple esta condición.

Por otra parte, los límites para el argumento debería ser infinito. De lo contrario, no podemos equiparar a la integración en el cuadrado de $x,y \in (-a,a)$ con la integración en la circunferencia $r \in (0,a)$.

Pero tal vez este método se puede generalizar? Por ejemplo, puede ser que algunas de las funciones que dan primaria integrales en forma polar cuando se multiplica $f(x)f(y)$, incluso si su producto depende del ángulo demasiado?

Answer 1

De Nate Eldredge la respuesta aquí:

Un conocido truco es una forma de evaluar la integral de Gauss $G = \int_\mathbb{R} e^{-x^2}dx = \sqrt{\pi}$ por escrito $$G^2 = \left(\int_\mathbb{R} e^{-x^2}dx\right)\left(\int_\mathbb{R} e^{-y^2}dy\right) = \int_{\mathbb{R}^2} e^{- x^2+y^2)}dxdy$$ que cuando se transforma a coordenadas polares se convierte en $$G^2 = 2\pi \int_0^\infty e^{-r^2} r dr = \pi \int_0^\infty e^{-u} du = \pi$$ a través de la sustitución de $u=r^2$. Parece que esta idea es debido a la distribución de Poisson.

En el 2005 una nota en el American Mathematical MONTHLY, R. Dawson ha observado que este es un truco que sólo funciona una vez; no hay ningún otro integrales que pueden ser evaluados por este método. Específicamente:

Teorema. Cualquier Riemann-integrable función de $f$$\mathbb{R}$, de tal manera que $f(x)f(y) = g(\sqrt{x^2+y^2})$ algunos $g$, es de la forma $f(x)=ke^{ax^2}$.

Ver: Dawson, Robert J. MacG. En un "singular" la técnica de integración de Poisson. American Mathematical Monthly 112 (2005), 270-272.