operación de grupo de homotopía de operación de Grupo topológico vs

Question

Que $X$ ser un Grupo topológico. Que $\tau_1$ y $\tau_2$ que representan elementos de $\pi_n(X)$. Es cierto que

$$ [\tau_1] [\tau_2] = [\tau_1 \tau_2] $$ in $\pi_n(X)$?,

donde por supuesto '$[\tau_1] [\tau_2]$' se refiere a la operación de grupo de $\pi_n(X)$, y $\tau_1 \tau_2$ significo el mapa $S^n \ni x \mapsto \tau_1(x) \tau_2(x)$.

Sé de topología algebraica de greenberg harper un primer curso, página 30, que esto es cierto para n = 1.

Me parece que la respuesta es un simple "sí", pero me pregunto por qué no puedo encontrarlo en internet.

Answer 1

Sí, Eckmann-Hilton se aplica. Curiosamente, esto implica que todos los homotopy grupos de un grupo topológico son abelian. Para mayor homotopy grupos, esto no es tan interesante, porque siempre son abelian, independientemente del espacio. Para $n=1$, sin embargo, no está carente de contenido: se nos dice que el grupo fundamental de un grupo topológico es abelian. Fundamentales de los grupos no siempre son abelian!

Así, por ejemplo, es imposible poner un topológica de la estructura de grupo en las dos-pinchado plano.