¿Requiere el Teorema de Basu una suficiencia mínima?

Question

Casella y Berger enuncian el teorema de Basu (Th 6.2.24) como sigue:

Si $T(X)$ es una estadística completa y mínimamente suficiente, entonces $T(X)$ es independiente de cualquier estadística auxiliar.

Sin embargo, en la clase, vi una demostración del teorema que utilizaba sólo la suficiencia, no la suficiencia mínima. La prueba era básicamente una aplicación de la ley de la probabilidad total.

La Wikipedia establece el Teorema de Basu utilizando la suficiencia y la completitud acotada (un requisito más débil que la completitud), lo que coincide con mi profesor.

¿Qué pasa con la versión Casella-Berger?

Answer 1

Para darse cuenta de que la suficiencia no es suficiente, considere que, cuando $T(X)$ es una estadística suficiente, $(T(X),S(X))$ también es una estadística suficiente. Incluyendo el caso en que $S(X)$ es una estadística auxiliar. Lo que significa que $(T(X),S(X))$ y $S(X)$ no pueden ser independientes.