Resolución de $e^{\sin(z)}=1$ en el plano complejo

Question

Estoy tratando de resolver $e^{\sin(z)}=1$ en el plano complejo.

Sé que esto significa que el $\sin(z)=2k\pi i$ % entero $k$. Esto es equivalente a decir %#% $ #% es decir % $ $$\frac{e^{iz}- e^{-iz}}{2i}=2k \pi i,$si dejamos $$e^{2iz}+4k\pi e^{iz}-1=0.$, entonces es una ecuación cuadrática, sino mi discriminante depende $x=e^{iz}$, por lo que hacer ahora no se Cómo simplificarlo. ¿Hay una manera más fácil de solucionar esto?

Answer 1

Para continuar con su línea de razonamiento (lo cual es correcto), que necesita para resolver $e^{2iz} + 4 k \pi e^{iz} - 1 = 0$. Con $x = e^{iz}$, esto se convierte en la ecuación cuadrática $x^2 + 4kx - 1 = 0$. El discriminante es $\Delta = (4k\pi)^2 + 4 = 4 (4k^2\pi^2 + 1)$, lo cual es siempre positivo ($k$ es real). Las dos soluciones son, por tanto,$x = -2k\pi + \sqrt{4k^2\pi^2+1}$$x = -2k - \sqrt{4k^2\pi^2 + 1}$.

• En el primer caso queremos resolver $e^{iz} = -2k\pi + \sqrt{4k^2\pi^2+1}$. Desde $4k^2\pi^2+1 = (-2k\pi)^2 + 1> (-2k\pi)^2$, esta es una de los números reales positivos, por lo que el primer lote de soluciones es $$z = i\log(-2k\pi + \sqrt{4k^2+1}) + 2 i \pi l, \text{ for some integers } k, l.$$
• En el segundo caso, la ecuación a resolver es $e^{iz} = -2k\pi - \sqrt{4k^2\pi^2+1}$. Este es un número real negativo, y por lo tanto el segundo lote de soluciones es: $$z = i\pi + i\log(2k\pi+\sqrt{4k^2\pi^2+1}) + 2 i \pi l, \text{ for some integers } k, l.$$

Y este es el conjunto completo de soluciones.

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PS: Se puede expresar que un poco más de forma clara y concisa darse cuenta de que $\log(2k\pi + \sqrt{4k^2\pi^2+1}) = \operatorname{argsinh}(2k\pi)$, y para el conjunto de soluciones se convierte $$e^{\sin z} = 1 \iff z \in \{ i\operatorname{argsinh}(-2k\pi) + 2 i\pi l \mid k,l \in \mathbb{Z} \} \cup \{ i\pi + i\operatorname{argsinh}(2k\pi) + 2 i \pi l \mid k,l \in \mathbb{Z} \}.$$

Answer 2

$$e^{\sin(z)}=1\Longleftrightarrow$$ $$\ln\left(e^{\sin(z)}\right)=\ln(1)\Longleftrightarrow$$ $$\sin(z)\ln\left(e\right)=\ln(1)\Longleftrightarrow$$ $$\sin(z)=2i\pi n_1\Longleftrightarrow$$ $$\arcsin\left(\sin(z)\right)=\arcsin\left(2i\pi n_1\right)\Longleftrightarrow$$ $$z=\begin{cases} \pi-i\text{arcsinh}(2\pi n_1)+2\pi n_2\\ i\text{arcsinh}(2\pi n_3)+2\pi n_4 \end{cases}$$

$n_1,n_2,n_3,n_4\in\mathbb{Z}$