Piedra-Čech via $C_b(X)\cong C(\beta X)$

Question

Estoy teniendo algunos problemas para la construcción de la Piedra-Čech compactification de un localmente compacto Hausdorff espacio de $X$ el uso de la teoría de $C^*$-álgebras. Hice algunas búsquedas, pero no pudo encontrar una respuesta buena en esto.

Vamos a centrarnos en el caso de $X=\mathbb{R}$. El espacio delimitado complejo de funciones con valores de $C_b(\mathbb{R})$ es un conmutativa unital $C^*$-álgebra por lo tanto $C_b(\mathbb{R})\cong C(\mathcal{M})$ donde $\mathcal{M}$ es el máximo espacio ideal, que es compacto y Hausdorff.

Debe ser el caso de que $\mathcal{M}\cong\beta\mathbb{R}$, y no es difícil mostrar que mediante la identificación de $t\in\mathbb{R}$ con la evaluación en $t$, tenemos un homeomorphism entre el $\mathbb{R}$ y un subespacio de $\mathcal{M}$.

Pero todavía tenemos que mostrar este subespacio es denso en $\mathcal{M}$. Esto es donde estoy teniendo problemas (y supongo que este es el punto entero de la prueba).

Alguien puede dar una pista? Gracias!

Answer 1

Usted realmente debe pensar acerca de la Stone-Cech compactification en términos de su universal de los bienes; la inclusión $X \to \beta X$ ya está unívocamente determinado (hasta un único isomorfismo) por el hecho de que es el universal mapa de $X$ a un compacto Hausdorff espacio, por lo que para comprobar que $C_b(X) \cong C(\beta X)$ es suficiente para comprobar que el compacto de Hausdorff espacio de $Y$ tal que $C_b(X) \cong C(Y)$ (que existe por parte de Gelfand-Naimark) tiene la característica universal de la Stone-Cech compactification.

(Tampoco es necesario suponer que $X$ es localmente compacto Hausdorff. Todo lo que voy a decir tiene sentido arbitrario de espacios topológicos, aunque el mapa $X \to \beta X$ es sólo una incrustación de $X$ completamente regular.)

Para comprobar la universal de los bienes, deje $f : X \to Z$ ser un mapa continuo de $X$ a un compacto Hausdorff espacio de $Z$. A continuación, $f$ determina un mapa de $C(Z) \to C_b(X)$ C*-álgebras (un complejo de valores de la función en $Z$ será limitada, por lo que su retirada a $X$ también será acotada). Desde $C_b(X) \cong C(Y)$, se deduce que el $f$ determina un mapa de $C(Z) \to C(Y)$, y por la equivalencia de categorías entre conmutativa unital C*-álgebras y compacto Hausdorff espacios (esta es la técnica corazón de la prueba) esta única determina un mapa continuo $Y \to Z$ a través de la cual $f$ factores. La conclusión de la siguiente manera.

Edit: El hecho de que (la imagen de) $X$ es denso en $\beta X$ se desprende directamente de la universal de los bienes, desde el cierre de las $X$ $\beta X$ cumple la característica universal de la Stone-Cech compactification, de ahí su inclusión en $\beta X$ debe ser un isomorfismo.