Si $f:S^1\to S^1$ ' t tiene alguna fijo punto entonces es homotópicas a la identidad

Question

¿Cómo mostrar que cada función continua $f:S^1\to S^1$ sin puntos fijos es homotópicas a la identidad? (sin utilizar la homología ni el concepto de grado).

Answer 1

$f : S^1 \to S^1$ ser un mapa sin puntos fijos. Considerar la proyección de la línea recta homotopía $$H(s, t) = \frac{(1-t)f(s) - ts}{\left \lVert(1-t)f(s)-ts\right \rVert}$$ between $f$ and the antipodal map $-\text{id}$, which is well-defined since $f(x) \neq x$ for all $x$. Compose this with the homotopy $$H(s, t) = e^{i\pi (1-t)} s$$ which rotates $-\text{id}$ to the identity map $\text{id}$. Thus, by transitivity, $f \sim \text{id}$.