Quiero calcular la siguiente integral $$\oint_{|z|=1}\frac{\exp \left (\frac{1}{z} \right)}{z^2-1}\,dz$ $ el integrando tiene una singularidad esencial en el origen y $2$-postes en $\pm 1$, que se encuentran en la curva $|z|=1$ por lo que no puedo aplicar la fórmula del residuo. ¿Cómo puedo proceder?
Respuesta
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Ron Gordon
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La integral tal como se plantea no existe. Ningún valor principal de Cauchy ayudará a esto. Puedo, sin embargo, plantea un problema que está muy cerca de que se produzca una bastante ingeniosa resultado.
Considere la posibilidad de
$$\oint_C dz \frac{e^{1/z}}{z^2-1} $$
donde $C$ es el siguiente perfil:
es decir, el círculo de $|z|=1$ semicircular con muescas de radio $\epsilon$ corte en el círculo de los polos $z=\pm 1$. Por Cauchy teorema, esta integral es cero. Sin embargo, podemos usar este hecho para deducir un trivial integral.
El contorno de la integral es también igual a la
$$i \int_{-\pi/2}^{-\epsilon} d\theta \, e^{i \theta} \frac{e^{e^{-i \theta}}}{e^{i 2 \theta}-1} + i \epsilon \int_{\pi}^0 d\phi \, e^{i \phi} \frac{e^{1/(1+\epsilon e^{i \phi})}}{(1+\epsilon e^{i \phi})^2-1} \\ + i \int_{\epsilon}^{\pi-\epsilon} d\theta \, e^{i \theta} \frac{e^{e^{-i \theta}}}{e^{i 2 \theta}-1} + i \epsilon \int_{\pi}^0 d\phi \, e^{i \phi} \frac{e^{1/(-1+\epsilon e^{i \phi})}}{(-1+\epsilon e^{i \phi})^2-1} \\ + i \int_{\pi+\epsilon}^{3 \pi/2} d\theta \, e^{i \theta} \frac{e^{e^{-i \theta}}}{e^{i 2 \theta}-1} $$
Tenga en cuenta que el punto en el que inició y terminó la integración en el círculo es arbitraria; me eligió para que yo era capaz de abarcar los pequeños semicírculos en su totalidad, en lugar de dividir. Ahora toma el límite de $\epsilon \to 0$, y simplemente puedo expresar el valor principal de Cauchy sobre el círculo sobre cualquier intervalo de longitud de $2 \pi$. Por Cauchy teorema, tenemos
$$i PV \int_0^{2 \pi} d\theta \, e^{i \theta} \frac{e^{e^{-i \theta}}}{e^{i 2 \theta}-1} - i \frac{\pi}{2} e + i \frac{\pi}{2} e^{-1} = 0 $$
Ahora separa las partes real e imaginaria. Con un poco de manipulación, podemos concluir lo siguiente:
$$\int_0^{2 \pi} d\theta \frac{e^{\cos{\theta}} \sin{(\sin{\theta})}}{\sin{\theta}} = \pi \left ( e-\frac1{e}\right ) $$
$$PV \int_0^{2 \pi} d\theta \frac{e^{\cos{\theta}} \cos{(\sin{\theta})}}{\sin{\theta}} = 0$$
A veces es interesante donde estas las integrales de contorno nos puede llevar!
ANEXO
No es trivial que el contorno de la integral anterior es cero. Para mostrar esto, necesitamos ampliar el integrando en una de la serie de Laurent alrededor de $z=0$:
$$\frac{e^{1/z}}{z^2-1} = \left ( 1+\frac1{z} + \frac12 \frac1{z^2} + \cdots \right ) \frac1{z^2} \left (1+\frac1{z^2} + \cdots \right ) = \frac1{z^2} + \cdots$$
Como no hay términos en $1/z$, el residuo de la función en $z=0$ es cero, como es la integral.
