Cómo calcular la integral del cuadrado de una función

Question

Cuando se hace la diferenciación, sé que si $f$ es una función en $x$, luego

$$ { d \over dx } f^2 = 2 f {df \over dx} $$

lo opuesto a la integración también es clara:

$$ \int 2 f { df \over dx } dx = f^2 $$

También sé que

$$ \int x^2 dx = { x^3 \over 3} $$

Pero no estoy seguro de cómo puedo evaluar:

$$ \int f^2 dx $$

Que quiero decir es que hay alguna identidad para esto? Que el de arriba es igual a otra función de $f$ (como $f^3 \over 3$ veces algo)? ¿Hay algún método para encontrar esto? Busqué en google algunos, pero quizás yo no uso apropiado de términos de búsqueda, así que no me dieron resultados claros, así que estoy pidiendo aquí. [Espero que mi pregunta es bastante clara :-(]

Answer 1

No se puede hacer, en general. Por ejemplo, es fácil de hacer $$\int xe^{x^2}\,dx$$ but there is no expression for $% $ $\int x^2e^{2x^2}\,dx$en términos de las funciones familiares de matemáticas pregrada.

Answer 2

supongo que si usted sustituir la función como cualquier variable X u puede resolver esta integración. por ejemplo, mientras que la integración (1+x)^2 suplente 1+x=t entonces se diferencian tanto con respecto a t. esto le da dx=dt. aquí, no importa cuál sea su función, hacer dx el tema de la ecuación, de modo que usted puede reemplazar dx en su original integral. después de que se integre la función como la integración de t^2, que es t^3/3 y, a continuación, resubstitute t=1+x en la respuesta para obtener una respuesta.Este es, por supuesto, un ejemplo muy simple, pero el proceso es el mismo.