No entiendo $\sqrt{-9i}$ .

Question

Intento visualizarlo en una gráfica, donde x son los números reales e y son los números imaginarios.

$\sqrt{9} = (3,0)$ y $(-3,0)$ .

$\sqrt{-9} = \sqrt{-1} \times \sqrt{9} = (0,3) $ y $(0,-3)$ .

$\sqrt{9i}$ =

$\sqrt{-9i}$ =

Básicamente, tengo algunos problemas para representar los números visualmente en el gráfico.

Gracias.

Answer 1

Tenga en cuenta que

$$-9 i = 9 e^{i (-\pi/2 + 2 k \pi)}$$

donde $k \in \mathbb{Z}$ . Por lo tanto, si tomamos la raíz cuadrada obtenemos

$$\sqrt{-9 i} = \sqrt{9 e^{i (-\pi/2 + 2 k \pi)}} = 3 e^{i (-\pi/4 + k \pi)}$$

y podemos concluir que el conjunto de soluciones es infinito (pero contable). Las soluciones más conocidas son $3 e^{- i \pi/4}$ y $3 e^{i ( 3\pi/4)}$ ya que todas las demás soluciones caerán encima de estas dos.

Answer 2

Así que, básicamente, lo que se busca es $\sqrt i$ . ¿Conoces el significado geométrico de la multiplicación compleja? Las longitudes se multiplican y los ángulos (contados a partir de la mitad derecha del eje real) se suman.

Si esto está claro, una raíz cuadrada de un número complejo con valor absoluto (longitud) $1$ significa reducir el ángulo a la mitad.

Así que, $\sqrt i$ tiene ángulo $45^\circ$ (o $(180+45)^\circ$ ) y tiene una longitud $1$ . Así que es $\displaystyle\pm\frac{1+i}{|1+i|} = \pm\frac{1+i}{\sqrt 2}$ .

Answer 3

Primero: se puede (oír) hablar de a raíz cuadrada. Podemos decir que un número $a$ es una raíz cuadrada de $b$ es $a^2 = b$ . En este sentido, tanto $3$ y $-3$ son raíces cuadradas de $9$ .

Segundo: La mayoría de las veces (OMI) cuando uno se encuentra con el signo radical $\sqrt{}$ Entonces uno está pensando en el raíz cuadrada también conocida como raíz cuadrada principal. Para los números reales no negativos, el raíz cuadrada de $b\geq 0$ se define entonces como el único número positivo $a$ tal que $a^2 = b$ . Por lo tanto, decimos que la raíz cuadrada de $9$ es igual a $3$ y escribimos $\sqrt{9} = 3$ . (Se podría considerar que el signo radical denota el conjunto formado por todas las raíces cuadradas de un número). Nótese que para esta configuración pensamos que og $\sqrt{}$ como una función de $[0,\infty) \to [0,\infty)$ .

Para los números complejos también podemos hablar de una raíz cuadrada o de la raíz cuadrada (principal). Para la raíz cuadrada de un número complejo $z = re^{i\theta}$ con $r\geq 0$ y $-\pi < \theta \leq \pi$ se suele definir la raíz cuadrada como: $\sqrt{re^{i\theta}} = \sqrt{r}e^{i\theta/2}$ . Así que con esta definición tenemos $$\begin{align} \sqrt{i} &= \sqrt{e^{i\pi/2}} = e^{i\pi/4} = \frac{1}{\sqrt{2}}(1+i) = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{i}{\sqrt{2}} \\ \sqrt{-i} &= \sqrt{e^{i(-\pi/2)}} = e^{-i\pi/4} = -\frac{1}{\sqrt{2}}(1+i). \end{align} $$ Y entonces se obtendría, por ejemplo $\sqrt{9i} = \frac{3}{\sqrt{2}}(1+i)$ .

Gráficamente se representaría entonces $\sqrt{9i}$ como el punto $(\frac{3}{\sqrt{2}},\frac{3}{\sqrt{2}})$

Nótese que con esta definición no se cumplen ciertas reglas conocidas. Por ejemplo, no tiene que $\sqrt{ab} = \sqrt{w}\sqrt{z}$ para todos los números complejos $w$ y $z$ . Si lo hicieras, entonces tendrías $$ \begin{align} 1 &= \sqrt{1} \\ &= \sqrt{(-1)(-1)} \\ &= \sqrt{-1}\sqrt{-1}\\ &= i\cdot i\\ &= -1. \end{align} $$

Answer 4

Intenta representar un número complejo $-9i$ en forma trigonométrica $z=|z|\left(\cos(\arg{z})+i\sin(\arg{z})\right)$ , poniendo $z=-9i$ y luego encontrar la raíz cuadrada, aplicando la fórmula de Moivre $\left(z^{\frac{1}{n}}\right)_k=|z|^{\frac{1}{n}}\left(\cos(\frac{\arg{z}+2k\pi}{n})+i\sin(\frac{\arg{z}+2k\pi}{n})\right), \quad 0\leqslant k \leqslant n-1$ .

Answer 5

Cuidado con las raíces cuadradas. Se trata de una cuestión de "rama" y puedes acabar con cantidades "multivaluadas" si te descuidas.