Una ecuación de diophantine sólo con "titanic" soluciones

Question

Hice una nota en la que hace algún tiempo que yo había leído en algún libro que la ecuación

$$313(x^3+y^3)=t^3$$

ha entero positivo soluciones, pero que estos son tan grandes que sería absolutamente inútil la búsqueda de ellos con los ordenadores. Por desgracia, yo no escriba donde leí esto y si sólo tiene la ecuación, los resultados de Google le da no son muy útiles. Sólo pude encontrar esta tan lejos.

Puede que alguien me apunte a un artículo o libro donde puedo leer más acerca de esta ecuación? (Preferiblemente con una prueba de la afirmación anterior, que es accesible incluso si no eres un experto en teoría de números.)

Answer 1

La ecuación de $313(x^3+y^3) = t^3$ es equivalente a encontrar,

$$x^3+y^3=313^2z^3\tag1$$

Como Achille Hui señala, Noam Elkies encontrado la solución con $83$-dígitos,

$$\pequeño x_0 = 355507307842882624593086325021133856149447336710120844428552934573043094018915 289363\\ \pequeño y_0 = -354602746692986709129018423204648314355484458881941451025238387384142099383045 862152 \\ \pequeño z_0 =1517122651849438712721950935044230084378368307868200665761294465082177989014675811$$

Actualización: Curiosamente, $3(x_0+y_0) = (3\cdot 7\cdot 8273\cdot 64072783\cdot 125303678787043)^3$.

Sin embargo, el OP quiere positivo. Utilizando el método también se discuten en este post, les de una solución inicial,

$$ax^3+^3 = cz^3\tag2$$

luego uno nuevo puede ser derivada como,

$$a(-bxy^3-cxz^3)^3 + b(ax^3y+cyz^3)^3 = c(-ax^3z+^3z)^3\tag3$$

Podemos usar $(3)$ de forma iterativa para encontrar un número infinito de soluciones. Tenemos,

$$x_0,y_0,z_0 = +,\,-,\,+\\ x_1,y_1,z_1 = +,\,-,\,-\\ x_2,y_2,z_2 = +,\,-,\,+\\ x_3,y_3,z_3 = +,\,-,\,-\\ x_4,y_4,z_4 = \color{rojo}{+,\,+,\,+} $$

y así sucesivamente. Así que la cuarta iteración es todo positivo. Aproximadamente,

$$x_4 = 1.908757×10^{21389}\\ y_4 = 4.955536×10^{21389}\\ z_4 = 1.095063×10^{21388}$$

Son demasiado largos para escribir explícitamente hacia abajo, pero si usted tiene Mathematica, usted puede volver sobre los pasos dados y ver los números en toda su gloria.

Answer 2

La curva de $a^3+b^3=N$ es birationally equivalente a la curva elíptica $y^2=x^3-432N^2$ con \begin{ecuación} a=\frac{36N+y}{6} \hspace{2cm} b=\frac{36N-y}{6} \end{ecuación}

Para $N=313^2$, la curva tiene rango de $1$ y generador de $G=(x_0,y_0)$ con

$x_0$=426235512202934545020503360093256801131707221692968586587468/216170759226021502298882345008844433022529079715666681

$y_0$=278275087731298331021683520315726613848790652329435004093249928083293904849586928211092140/100506794432879496007544646276171310440319758686599267034949687655666070652158579

que dar la solución de Noam Elkies tabulados.

La curva no tiene torsión puntos para todas las soluciones racionales provienen de puntos de la forma $mP, \, \, m=1,2,\ldots$.

Mirando las anteriores transformaciones, una solución positiva sólo surgen cuando $|y| < 36N$ desde $x>0$ siempre.

Los experimentos muestran que esto sucede por primera vez cuando $m=9$ dar una solución con aproximadamente 6770 dígitos