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32 votos

Una ecuación de diophantine sólo con "titanic" soluciones

Hice una nota en la que hace algún tiempo que yo había leído en algún libro que la ecuación

313(x3+y3)=t3

ha entero positivo soluciones, pero que estos son tan grandes que sería absolutamente inútil la búsqueda de ellos con los ordenadores. Por desgracia, yo no escriba donde leí esto y si sólo tiene la ecuación, los resultados de Google le da no son muy útiles. Sólo pude encontrar esta tan lejos.

Puede que alguien me apunte a un artículo o libro donde puedo leer más acerca de esta ecuación? (Preferiblemente con una prueba de la afirmación anterior, que es accesible incluso si no eres un experto en teoría de números.)

20voto

Tito Piezas III Puntos 13051

La ecuación de 313(x3+y3)=t3 es equivalente a encontrar,

x3+y3=3132z3

Como Achille Hui señala, Noam Elkies encontrado la solución con 83-dígitos,

\pequeño x_0 = 355507307842882624593086325021133856149447336710120844428552934573043094018915 289363\\ \pequeño y_0 = -354602746692986709129018423204648314355484458881941451025238387384142099383045 862152 \\ \pequeño z_0 =1517122651849438712721950935044230084378368307868200665761294465082177989014675811

Actualización: Curiosamente, 3(x_0+y_0) = (3\cdot 7\cdot 8273\cdot 64072783\cdot 125303678787043)^3.

Sin embargo, el OP quiere positivo. Utilizando el método también se discuten en este post, les de una solución inicial,

ax^3+^3 = cz^3\tag2

luego uno nuevo puede ser derivada como,

a(-bxy^3-cxz^3)^3 + b(ax^3y+cyz^3)^3 = c(-ax^3z+^3z)^3\tag3

Podemos usar (3) de forma iterativa para encontrar un número infinito de soluciones. Tenemos,

x_0,y_0,z_0 = +,\,-,\,+\\ x_1,y_1,z_1 = +,\,-,\,-\\ x_2,y_2,z_2 = +,\,-,\,+\\ x_3,y_3,z_3 = +,\,-,\,-\\ x_4,y_4,z_4 = \color{rojo}{+,\,+,\,+}

y así sucesivamente. Así que la cuarta iteración es todo positivo. Aproximadamente,

x_4 = 1.908757×10^{21389}\\ y_4 = 4.955536×10^{21389}\\ z_4 = 1.095063×10^{21388}

Son demasiado largos para escribir explícitamente hacia abajo, pero si usted tiene Mathematica, usted puede volver sobre los pasos dados y ver los números en toda su gloria.

15voto

Allan MacLeod Puntos 321

La curva de a^3+b^3=N es birationally equivalente a la curva elíptica y^2=x^3-432N^2 con \begin{ecuación} a=\frac{36N+y}{6} \hspace{2cm} b=\frac{36N-y}{6} \end{ecuación}

Para N=313^2, la curva tiene rango de 1 y generador de G=(x_0,y_0) con

x_0=426235512202934545020503360093256801131707221692968586587468/216170759226021502298882345008844433022529079715666681

y_0=278275087731298331021683520315726613848790652329435004093249928083293904849586928211092140/100506794432879496007544646276171310440319758686599267034949687655666070652158579

que dar la solución de Noam Elkies tabulados.

La curva no tiene torsión puntos para todas las soluciones racionales provienen de puntos de la forma mP, \, \, m=1,2,\ldots.

Mirando las anteriores transformaciones, una solución positiva sólo surgen cuando |y| < 36N desde x>0 siempre.

Los experimentos muestran que esto sucede por primera vez cuando m=9 dar una solución con aproximadamente 6770 dígitos

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