La ecuación de 313(x3+y3)=t3 es equivalente a encontrar,
x3+y3=3132z3
Como Achille Hui señala, Noam Elkies encontrado la solución con 83-dígitos,
\pequeño x_0 = 355507307842882624593086325021133856149447336710120844428552934573043094018915
289363\\
\pequeño y_0 = -354602746692986709129018423204648314355484458881941451025238387384142099383045
862152 \\
\pequeño z_0 =1517122651849438712721950935044230084378368307868200665761294465082177989014675811
Actualización: Curiosamente, 3(x_0+y_0) = (3\cdot 7\cdot 8273\cdot 64072783\cdot 125303678787043)^3.
Sin embargo, el OP quiere positivo. Utilizando el método también se discuten en este post, les de una solución inicial,
ax^3+^3 = cz^3\tag2
luego uno nuevo puede ser derivada como,
a(-bxy^3-cxz^3)^3 + b(ax^3y+cyz^3)^3 = c(-ax^3z+^3z)^3\tag3
Podemos usar (3) de forma iterativa para encontrar un número infinito de soluciones. Tenemos,
x_0,y_0,z_0 = +,\,-,\,+\\
x_1,y_1,z_1 = +,\,-,\,-\\
x_2,y_2,z_2 = +,\,-,\,+\\
x_3,y_3,z_3 = +,\,-,\,-\\
x_4,y_4,z_4 = \color{rojo}{+,\,+,\,+}
y así sucesivamente. Así que la cuarta iteración es todo positivo. Aproximadamente,
x_4 = 1.908757×10^{21389}\\
y_4 = 4.955536×10^{21389}\\
z_4 = 1.095063×10^{21388}
Son demasiado largos para escribir explícitamente hacia abajo, pero si usted tiene Mathematica, usted puede volver sobre los pasos dados y ver los números en toda su gloria.