Tengo que resolver encontrar el valor de $$\sum_{k=1}^{n/2} k\log k$$ como parte de la pregunta.
¿Cómo debo proceder en este ?
Respuestas
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Lo consiguió. La constante en Morón de la respuesta es $C = \log A$ donde $A$ es el Glaisher-Kinkelin constante. Por lo tanto $C = \frac{1}{12} - \zeta'(-1)$.
La expresión $H(n) = \prod_{k=1}^n k^k$ se llama la hyperfactorial, y tiene el conocido asintótica de expansión
$$H(n) = A e^{-n^2/4} n^{n(n+1)/2+1/12} \left(1 + \frac{1}{720n^2} - \frac{1433}{7257600n^4} + \cdots \right).$$ Tomando los registros y usando el hecho de que $\log (1 + x) = O(x)$ los rendimientos de una expresión asintótica para el OP de la suma $$\sum_{k=1}^n k \log k = C - \frac{n^2}{4} + \frac{n(n+1)}{2} \log n + \frac{\log n}{12} + O \left(\frac{1}{n^2}\right),$$ el mismo Aryabhata obtenidos con Euler-Maclaurin de totalización.
Añadido
: Encontrar una fórmula asintótica para el hyperfactorial es Problema 9.28 en Concreto de las Matemáticas (2ª ed.). La respuesta que dan los usos de Euler-Maclaurin, así como Aryabhata la respuesta. También mencionan que es una derivación del valor de $C$ es en N. G. de Bruijn es Asintótica de los Métodos de Análisis, $\S$3.7.
Alex Bolotov
Puntos
249
Aquí es un asintótica de expresión mediante EulerMcLaurin Suma.
$$ \sum _{k=1}^{n} k \log k = \int_{1}^{n} x \log x\ \text{d}x + (n\log n)/2 + C' + (\log n + 1)/12+ \mathcal{O}(1/n^2)$$
$$ = n^2(2 \log n - 1)/4 + (n\log n)/2 + (\log n)/12 + C + \mathcal{O}(1/n^2)$$
para algunas constantes $C$.
