El Cambio De Suma Índice De Pregunta

Question

Lo siento si esto parece como una pregunta de novato, pero todavía soy relativamente nuevo en el mundo de la matemática discreta ( todavía en el 9º grado). He estado revisando algunos de los conceptos que aprendí en un capítulo de Hormigón Matemáticas (Graham,Knuth,Patashnik) sobre las Sumas, y me parece que han perdido por completo algo que me desconcertó.

Me acuerdo de ir a través de este problema, así que me decidí a volver a resolver es sólo para asegurarse de que yo estaba 100% segura de que sabía de esos conceptos. Pero, he estado tratando de conseguir por un tiempo y todavía no puedo encontrar la respuesta a mi problema.

El problema comienza de la siguiente manera:

\begin{equation} S = \sum_{0 \le k \le n} (a + bk) \end{equation}

El uso de la propiedad conmutativa de la ley, el índice de $k$ puede ser re-escrita como $n-k$

\begin{equation} S = \sum_{0 \le (n-k) \le n} (a + b(n-k)) \end{equation}

Y esto puede entonces igual

\begin{equation} S = \sum_{0 \le k \le n} (a + bn-bk) \end{equation}

Mi pregunta no es cómo llegamos $a + bn - bk$, pero en cuanto a por qué el índice puede cambiar de $n-k$ $k$a partir de la ecuación anterior? Por qué y cómo se puede hacer esto?

Answer 1

El autor de la disputa parece ser que la suma de dos mencionados son los mismos, como un bucle sobre los valores en el conjunto $0 \leq n-k \leq n$ es lo mismo que recorrer $k$ tal que $0 \leq k \leq n$. Para ver por qué esto es cierto, sólo tenemos que ver que los valores que recorrer son el mismo. Luego, por la conmutatividad de la suma, el orden de los valores que aparecen en la suma no importa, así que la suma de dos puede ser llevado a ser igual.

Entonces, es cuestión de ver que si $0 \leq k \leq n$ define el mismo conjunto como $0 \leq n-k \leq n$, la cual se puede ver de la siguiente manera:

$k \in \mathbb{N}$ tal que $0 \leq k \leq n$ corresponde al conjunto de valores de $\{0, 1, 2, \ldots, n-1, n\}$.

$n-k \in \mathbb{N}$, entonces, que el $0 \leq (n-k) \leq n$, corresponde al conjunto de valores de $\{n, n-1, n-2, \ldots, 1, 0\}$.

Claramente, estos dos juegos son los mismos.

Answer 2

Es debido a $k$ todavía tomará todos los valores de 0 a $n$, sólo en una diferente (inversa) de la orden y ya que la suma es conmutativa, este orden no es importante.

Answer 3

Quiero señalar creo que la suma es más fácil evaluar si usted acaba de dividir.

S = $\sum\limits_{k=0}^n a + b\sum\limits_{k=0}^n k$ a Pesar de que su pregunta original es probablemente más importante que cualquier cantidad de dinero.