Deje $k$ ser un algebraicamente cerrado de campo. Supongamos que $f\colon \mathbb{P}^n(k)\to \mathbb{P}^n(k)$ es una de morfismos de la forma $f = [f_0:\cdots: f_n]$ cuando la $f_i$ son polinomios homogéneos de grado $d$ sin trivial común ceros. En este caso, el grado de morfismos $f$$d^n$. La única manera que sé cómo calcular esto es a través de la intersección de la teoría de $\mathbb{P}^n(k)$. Dado que el grado de $f$ está definido (muy concretamente) como el grado de la extensión de campo $f^*k(\mathbb{P}^n)\subseteq k(\mathbb{P}^n)$, me pregunto si hay menos de alta tecnología de la informática que $\deg f = d^n$. ¿Alguien sabe de un camino?
Respuesta
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Croquis de alternativas: Considerar el anillo mapa $k[Y_0, \ldots, Y_n] \to k[X_0, \ldots, X_n]$, $Y_i \mapsto f_i(X_0, \ldots, X_n)$. Mirando de Hilbert de funciones (pensando en estos como gradual de los anillos) vemos que $k[\underline{X}]$ rango $d^{n + 1}$ $k[\underline{Y}]$- módulo (sugerencia: calcular líder de los coeficientes de Hilbert pols y el uso que un graduado módulo apoyado en una adecuada cerrado subscheme de $\mathbf{A}^{n + 1}$ ha Hilbert pol de menor grado). El grado de $f$ es el grado de la extensión de campo $k(Y_i/Y_0) \subset k(X_i/X_0)$. La razón de esto es $d^n$ e no $d^{n + 1}$ es porque estamos tomando grado $0$ partes en la extensión de $k(Y_i/Y_0)[Y_0^{\pm 1}] \subset k(X_i/X_0)[X_0^{\pm 1}]$ a que grado $d^{n + 1}$ por los de arriba.
