La calculadora de Moriarty: algunas anomalías gráficas extrañas y engañosas

Question

Antecedentes: Este es un problema que encontré por primera vez hace unos años en un libro de texto de cálculo (uno de James Stewart), donde se abordaban algunos de los escollos del uso de las calculadoras gráficas. En el contexto original se abordaban los problemas de la calculadora TI-83, pero dado que la mayoría de la gente utiliza la cacareada TI-89 hoy en día, pensé que podría considerar algunos problemas con ella. Mis primeras consideraciones resultaron ser sencillas de manejar (y las esbozaré a continuación), pero hay una que no tengo ni idea de cómo abordar adecuadamente. Creo que es lo suficientemente extraño como para llamar al problema del desafío El Enigma de Moriarty.

Información necesaria: El Guía de la TI-89 da información sobre cómo la calculadora dibuja los objetos dadas las dimensiones de la pantalla de la calculadora. Las dimensiones de la pantalla de todas las calculadoras gráficas de TI se pueden encontrar aquí . La información pertinente de la guía se puede encontrar aquí (enlace proporcionado para no alargar aún más un post ya de por sí largo).

El punto principal es que la ventana de gráficos es $159$ de ancho y queremos empezar con $x=0$ y $x=2\pi$ (la razón de esto quedará muy clara en un momento). Dado que hay $158$ "huecos" entre píxeles, la distancia entre píxeles es $\frac{2\pi-0}{158}$ . Así, el $x$ -los valores que la calculadora realmente traza son $x=0+\frac{2\pi}{158}\cdot n$ , donde $n=0,1,2,\ldots,158$ .

Elemental, mi querida TI-89: Consideremos primero el gráfico de $y=\sin(161x)$ que se grafica a continuación en dot modo en la ventana $0\leq x\leq 2\pi, -1.5\leq y\leq 1.5$ (esta será la ventana utilizada en todos los ejemplos para que mis resultados sean reproducibles por otros usuarios si lo desean):

Ahora considere cuando las funciones $y=\pm\sin(3x)$ se grafican simultáneamente en square modo:

Ciertamente parece que $\sin(161x)=\pm\sin(3x)$ . En realidad, esto tiene sentido en términos de la información de píxeles señalada anteriormente: para $y=\sin(161x)$ los puntos reales trazados por la calculadora son $\left(\frac{2\pi}{158}\cdot n,\sin\left(161\cdot\frac{2\pi}{158}\cdot n\right)\right)$ para $n=0,1,2,\ldots,158$ . Pero $$\begin{align} \sin\left(161\cdot\frac{2\pi}{158}\cdot n\right) &= \sin\left(158\cdot\frac{2\pi}{158}\cdot n+3\cdot\frac{2\pi}{158}\cdot n\right)\\[1em] &= \sin(2\pi n)\cos\left(3\cdot\frac{2\pi}{158}\cdot n\right)+\sin\left(3\cdot\frac{2\pi}{158}\cdot n\right)\cos(2\pi n)\quad\text{[$\sin(\alpha+\beta)$]}\\[1em] &= \pm\sin\left(3\cdot\frac{2\pi}{158}\cdot n\right),\qquad n=0,1,\ldots,158 \end{align}$$ Así, el $y$ -y, por lo tanto, los puntos, trazados para $y=\sin(161x)$ se encuentran en cualquiera de los dos $y=\sin(3x)$ o $-\sin(3x)$ como confirma el gráfico anterior.

El mismo razonamiento puede utilizarse para demostrar que todos los $y$ -valores para $\sin(158x)$ se trazan como cero:

Llegados a este punto, me sentía confiado en mi capacidad para entender y detectar las anomalías gráficas de las funciones trigonométricas debidas a la periodicidad y similares, pero la siguiente función ha frustrado por completo mi análisis.

El Enigma de Moriarty: Gráfico $\sin(77x)$ en line modo:

Puedo deducir cómo $\pm\sin(2x)$ entra en la mezcla (similar al $\sin(161x)$ ejemplo), pero no veo cómo $\pm\cos(2x)$ encaja. El $y$ -valores para $\sin(161x)$ parecen ser una mezcla de $\pm\sin(2x),\pm\cos(2x)$ y un conjunto de diferentes funciones trigonométricas. Este es el gráfico cuando las cinco funciones se trazan simultáneamente ( $\sin(77x)$ trazado en line modo mientras $\pm\sin(2x),\pm\cos(2x)$ en square modo):

Como si eso no fuera lo suficientemente extraño, el gráfico $\sin(77x)$ y $\pm\sin(81x)$ en line modo:

Por último, el gráfico $\sin(77x)$ y $\cos(77x)$ en line modo:

¿Qué otras funciones pueden estar ocultas en $\sin(77x)$ al graficar en la ventana $0\leq x\leq 2\pi, -1.5\leq y\leq 1.5$ para la TI-89? ¿Dónde están los $\pm\cos(2x)$ ¿entra en juego? ¿Qué pasa con $\sin\left(\frac{77x}{79}\right)$ [rellena las regiones con aspecto de diamante] o $-\sin\left(\frac{77x}{79}\right)$ [corre tangente a / cruza el máximo del medio], etc.

Answer 1

En realidad no sé cómo se relaciona exactamente el teorema de Nyquist-Shannon con esto, pero aquí hay un desglose de lo que sucede con $\sin\left(77\frac{\pi}{158}n\right)$ para $n=1..158$ (de forma equivalente, $\sin(77x)$ con $x=\frac{\pi n}{158}$ ):

$$f(n)=\sin\left(77\frac{\pi}{158}n\right)=\sin\left(\left(\frac{79}{158}\pi-\frac{2\pi}{158}\right)n\right)=\\ =\sin\left(\left(\frac\pi2-\frac\pi{79}\right)n\right)=\sin\frac{\pi n}2\cos\frac{\pi n}{79}+\cos\frac{\pi n}2\sin\frac{\pi n}{79}.$$

Consideremos ahora 4 casos:

1. $n=1+4k,\,k\in\mathbb Z$ entonces $f(n)=\cos\frac{\pi n}{79}$
2. $n=2+4k,\,k\in\mathbb Z$ entonces $f(n)=-\sin\frac{\pi n}{79}$
3. $n=3+4k,\,k\in\mathbb Z$ entonces $f(n)=-\cos\frac{\pi n}{79}$
4. $n=0+4k,\,k\in\mathbb Z$ entonces $f(n)=\sin\frac{\pi n}{79}$

Esto es exactamente lo que ha preguntado $\pm\sin(2x)$ y $\pm\cos(2x)$ dentro de las muestras de $\sin(77x)$ , donde $x=\frac{\pi n}{158}$ .