Conjunto de operaciones en las construcciones de la Topología Débil no puede ser revertida

Question

Deje $X$ ser un conjunto genérico y deje $(Y_i)_i$ ser una familia de espacios topológicos. Deje $(\varphi_i)_i$ ser una colección de funciones de la clase $X \to Y_i$. Es posible determinar una topología (que sería el más grueso) en el que todas las funciones son continuas, de la siguiente manera:

1) si $\omega_i$ es un conjunto abierto de algunas de las $Y_i$, $\varphi_i^{-1}(\omega_i)$ es necesariamente un conjunto abierto (porque estamos suponiendo que las funciones sean continuas). De modo que podamos obtener de la familia $U$ de los subconjuntos en $X$ dado por estos pre-imágenes.

2) podemos considerar finito intersecciones de los miembros de $U$ la obtención de un espacio de $\phi$ que incluye a $U$ y que es estable bajo finito intersecciones. $\phi$ puede no ser estable arbitrarias de los sindicatos.

3) a Continuación, se puede considerar que la familia $\mathcal{F}$ obtenido por la formación de arbitrario uniones de elementos de $\phi$. Se puede probar que el $\mathcal{F}$ es estable bajo arbitraria sindicatos y finito intersecciones.

El proceso de tomar finito intersecciones primero y luego arbitraria de los sindicatos no puede ser revertido, ya que podemos obtener de una familia de subconjuntos que es no estable bajo arbitraria de los sindicatos.

¿Conoces algunos ejemplos concretos que muestran por qué el "reverso" de la construcción de un error?

Answer 1

Tiene que haber al menos dos $Y_i$, desde el preimages de abrir los conjuntos de un solo $Y$ ya son cerrados bajo arbitraria sindicatos y finito intersecciones. Podemos construir un ejemplo de uso de la familia de Guiseppe comentario por tomar $Y_1$ $\mathbb R$ dotado con el sistema abierto de conjuntos de $(-\infty,a)$ $a\in[-\infty,\infty]$ $Y_2$ $\mathbb R$ dotado con el sistema abierto de conjuntos de $(b,\infty)$$b\in[-\infty,\infty]$,$\phi_i(x)=x$.

Un ejemplo con topologías estándar es$\mathbb R^2$$Y_1=Y_2=\mathbb R$, $\phi_i$ la proyección sobre la $i$-ésimo componente. A continuación, las topologías estándar en $Y_1$ $Y_2$ inducir el estándar de la topología en $\mathbb R$, ya que la subbase de preimages de abrir conjuntos de $Y_1$ $Y_2$ se compone de los conjuntos de $U\times\mathbb R$$\mathbb R\times V$, $U,V\subseteq\mathbb R$ un conjunto abierto. Finito intersecciones rendimiento de los conjuntos de la forma $U\times V$, y, a continuación, arbitraria sindicatos de plomo por ejemplo, a

$$\bigcup_{t\in\mathbb R}\left((t,\infty)\times(-\infty,t)\right)\;,$$

el conjunto abierto de puntos estrictamente bajo la diagonal principal. Esto no puede ser formada utilizando un número finito de intersección arbitraria de los sindicatos, ya que cada término de la intersección tendría que cubrir todo el conjunto, lo que implica que debe contener un conjunto de la forma $\mathbb R^2\setminus\left([-\infty,t]\times[t,\infty]\right)$, y cada conjunto sólo puede excluir a un punto de la diagonal de la intersección, por lo que se requeriría (uncountably) infinitamente muchos de ellos para excluir la totalidad de la diagonal.

Answer 2

Ya que es etiquetado análisis funcional y está vinculado con la topología débil, voy a dar un ejemplo de este espíritu (esperando que sea correcto), aunque no voy a considerar todos los lineales de los mapas. Tome $X=\ell^{\infty}(\Bbb R)$, el espacio acotado de la secuencia de los números reales dotado con el uniforme de la norma. Considere la posibilidad de $f_n$ el (continua) lineal funcional definido por $f_n(\{x_n\}_k)=x_n$, y poner por $r$ número real: $$O_r:=\bigcup_{n\in\Bbb N}\{x\mid x_{2n}<r\},\quad O'_r:=\bigcup_{n\in\Bbb N}\{x\mid x_{2n+1}<r\}.$$ Supongamos que podemos escribir $\bigcup_{r<0}(O_r\cap O'_r)$ como una unión de la forma $\bigcup_{j\in J}f_j^{-1}(O_j)$ donde $O_j$ es un no-vacío abierto subconjunto de la recta real y $J\subset \Bbb N$. Suponga que $2j\in J$ algunos $j$ (o $2k+1$ algunos $k$), y $r_{2j}\in O_{2j}$. La secuencia de $x=r_{2j}e_{2j}$$f_{2j}^{-1}(O_{2j})$, pero no en $\bigcup_{r<0}(O_r\cap O'_r)$.

Así que después de tomar la arbitrariedad de los sindicatos y finito intersecciones, tenemos que tomar de nuevo la arbitrariedad de los sindicatos de estos conjuntos, que finalmente da el mismo resultado.