Referencias para el teorema acerca de unipotentes algebraica de los grupos en char=0?

Question

Hay un libro de texto teorema de que las categorías de unipotentes algebraica de los grupos y nilpotent finito-dimensional álgebras de Lie son equivalentes en característica cero. De hecho, la exponencial mapa algebraica de isomorfismo en este caso y la estructura de grupo puede ser definido en términos de la Mentira de álgebra de la estructura y viceversa a través de la Campbell-Hausdorff de la serie, que es finito, debido a nilpotency.

Mi problema es que soy incapaz de localizar cualquier libro de texto donde este libro de texto es el teorema declaró. Los libros de Borel, Humphreys, Springer, Serre no parecen hablar de este teorema.

La única referencia que pude encontrar es este papel original por Hochschild (que se refiere a sus anteriores trabajos), pero lo hace en un pesado de Hopf-álgebra del lenguaje que es bueno, también, pero deja a uno deseando encontrar también un simple libro de texto de estilo de la exposición. Más tarde Hochschild escribió un libro "la base de la Teoría Algebraica de los Grupos y Álgebras de Lie" en la materia, a la que tengo actualmente no hay acceso, pero a juzgar por Parshall de la revisión, no es, ciertamente, los libros de estilo.

Alguien podría sugerir una simple referencia para este libro de texto teorema?

Answer 1

La no-respuesta:

Para mi sorpresa, fui incapaz de encontrar una declaración en SGA3. No es la infinitesimal grupo formal de la equivalencia de que Pete se mencionó en el exp 7B corolario 3.3.2, pero me vino vacías buscando en los lugares que yo esperaba (por ejemplo, la parte en unipotentes grupos). Exp 17 Lema 3.9 ter. sólo se da una equivalencia de categorías en la conmutativa (cuando Baker-Campbell-Hausdorff se derrumba).

SGA3 referencias Seminaire Chevalley 1956/58 Exp 6 y 9 y Bourbaki del libro, pero no los tengo a mano. Has mirado ahí?

Answer 2

Demazure-Gabriel, Grupos de algebriques, Tomo I (publicado en 1970) es más explícito de origen, si está disponible. Chapitre IV trata "de grupos afines, nilpotents, resolubles", mientras que Chapitre V se especializa para conmutativa afín a los grupos. Normalmente trabajan por más de un (casi) campo arbitrario $k$, pero IV.2.4 es dedicado a los "grupos de unipotents en caracteristique 0". Esto parece ser como completa una cuenta como se encuentra en un libro de texto; ver especialmente Corollaire 4.5 para la categoría de equivalencia desea.

Más tarde, los libros de texto en inglés incluyendo Hochschild se centran principalmente en la estructura y clasificación de la reductora en lugar de arbitrario afín a los grupos. Incluso esta mucho de la historia contada sin esquema de lenguaje es bastante larga para cursos de postgrado. Es lamentable que la referencia punto de vista que Demazure-Gabriel se dio por vencido después de un volumen.

Answer 3

Yo diría que el resultado es implícito en Serre de la Lie y Álgebras de Lie Grupos. En LG IV y V de la prueba de la categoría de la equivalencia formal entre los grupos y álgebras de Lie sobre cualquier campo de característica 0. Él también comentarios (al final de la Sección V. 4) que cuando la Mentira álgebra es nilpotent, el grupo formal es sólo un polinomio, por lo que no hay convergencia. Él (casi) sin duda no es el estado el resultado de forma explícita, ya que él no habla algebraica de los grupos de per se, pero creo que juntar el gran teorema y el comentario es aceptable, aunque no ideal, de referencia.

Por casualidad, he Hochschild del libro sacado de la biblioteca, así que traté de buscar el resultado. No mucha suerte-de hecho es técnica (aún?) en comparación con la mayoría de los otros libros sobre algebraicas lineales grupos, no tan bien indexado, y utiliza algunos no estándar de notación. (Tengo pocas dudas a pesar de que si yo pude leer de la cubierta a la cubierta de mi entendimiento de que el sujeto podría ser enriquecido enormemente.)