Según lo aconsejado por @nr8, dos de los Viète fórmulas permiten reemplazar $c$$\dfrac{1}{ab}$$d$$-2a-b-c=-2a-b-\dfrac{1}{ab}$. Por lo tanto, los otros dos Viète fórmulas puede ser expresada con las variables de $a$ $b$ solamente, bajo la forma
$$f(a,b)=-1 - 2\,^2\,b - a\,b^2 - 2\,^4\,b^2 - a^2\,b^3 - 2\,^3\,b^3 -
a^2\,b^4=0 \ \ \ (1)$$
y
$$g(a,b)=-a - b + a\,b - 2\,^3\,b - 3\,^2\,b^2 - a\,b^3 - 2\,^4\,b^3 -
a^3\,b^4=0 \ \ \ (2)$$
He hecho una Mathematica solicitud de una base de Groebner de ((1),(2)).
Este es un conjunto de ecuaciones equivalentes (1)+(2) (que podría - theoreticaly - ser obtenida por cálculo manual) y más simple en un cierto sentido, como veremos, en el precio, en nuestro caso, del grado de elevación.
He obtenido las dos ecuaciones siguientes (factorización de (1') de hecho ha sido hecha en un segundo paso):
$$\begin{cases}(1') \ \ \ &P_1(b)P_2(b)P_3(b)&=&0 \ \ \text{where}\\
&P_1(b)&=&1+b\\
&P_2(b)&=&1+b+2b^2+b^3\\
&P_3(b)&=&4 - 8\,b + 4\,b^2 + 4\,b^4 - 6\,b^5 - 4\,b^6 + 6\,b^7\\
&&&+ 4\,b^8 - b^{10} - 4\,b^{11} - b^{12} + 2\,b^{13} + b^{14} \ \ \ \text{and}\\
(2') \ \ \ &82012\,a &=& 27660 - 66204\,b - 24260\,b^2 + 20952\,b^3 \\
&&& + 121422\,b^4 + 52670\,b^5 - 94920\,b^6 - 9194\,b^7 \\
&&& + 79461\,b^8 + 45735\,b^9 + 19696\,b^{10} - 34429\,b^{11}\\
&&& - 53258\,b^{12} + 3176\,b^{13} + 35041\,b^{14} + 21135\,b^{15} \\
&&& + 5820\,b^{16} + 809\,b^{17}\end{casos}$$
Dos inmediata observaciones:
la ecuación (1') es una ecuación polinómica en el único parámetro de $b$,
la ecuación (2') determina de manera única el valor de $a$ una vez un valor de $b$ es dado.
Por lo tanto, debemos concentrar nuestro estudio en (1'), considerando los tres casos:
$P_1(b)=0$ dar $b=-1$. Usando (2'), podemos deducir que $a=1$, dando
$c=1/b=-1$, y, como consecuencia, $d=-2a-b-c=0$, por lo tanto no es aceptable.
$P_2(b)=0$ es una ecuación de tercer grado con una única solución real (esto puede ser establecido rigurosamente mediante el estudio de las variaciones de la función $P_2$). Esta solución es $$b_0=-\dfrac{1}{3}\left(2+\sqrt[3]{\dfrac{25+3 \sqrt{69}}{2}}+\sqrt[3]{\dfrac{25-3 \sqrt{69}}{2}}\right) \approx -1.7548776662.$$
$P_3(b)=0$ no tiene solución real, como puede ser "visto", ya sea sobre los valores numéricos de sus raíces, todo el complejo no real, o por tener un vistazo a su representación gráfica como una función. Pero, hasta ahora, no he sido capaz de demostrarlo rigurosamente.
Enchufar el valor numérico de $b_0$ (2'), se obtiene la $a_0=1.$. Como consecuencia:
$$c_0=\dfrac{1}{a_0b_0}\approx -0.5698402910 \ \ \ \text{y} \ \ \ d_0 = -2a_0-b_0-c_0
\aprox 0.3247179572$$ that can be checked as the roots of the function $y=x^4+a_0x^3+b_0x^2+c_0x+d_0$ (ver representación gráfica de abajo)
Este "cuarteto" $(a_0,b_0,c_0,d_0)$ es la única solución del problema para el que $abcd \neq 0$.
Nota: no tenemos nada para comprobar debido a que las condiciones (1') y (2') (que son equivalentes a (1)+(2)) se cumplen.
Edit: una observación: la combinación de las ecuaciones (1) y (2):
$$h(a,b):=g(a,b)-h(a,b)=b\a la izquierda( a - 1 \right) \,\left( 1 + 2\,^2\,b + a\,b^2 + 2\,^3\,b + a^2\,b^2 +
2\,^4\,b \right)=0 \ \ \ (3)$$
Los dos primeros factores de $b(a-1)$ de la cuenta especial para los valores de $b=0$ (no se considera) y $a=1$, que ha sido el valor final de la solución.
El último factor igual a $0$ es una ecuación cuadrática en la variable $b$, puede ser resuelto con $a$ como parámetro (con un cierto intervalo de restricción en los valores de $a$ para el discriminante sea positivo). No vamos a hacer cualquier cálculo: baste decir que, esta vez, es $b$ que se determina como una función de la $a$ ...
![enter image description here]()
