dimensión de un anillo de coordenadas

Question

Deje $I$ a ser un ideal de a $\mathbb{C}[x,y]$ de manera tal que su ajuste a cero en $\mathbb{C}^2$ tiene cardinalidad $n$. Es cierto que $\mathbb{C}[x,y]/I$ $n$- dimensional $\mathbb{C}$-espacio vectorial (y por qué)?

Answer 1

No, el ajuste a cero de $I = (x, y^k)$ tiene cardinalidad $1$, es sólo el punto de $(0, 0)$. Pero $\mathbb C[x, y]/(x, y^k)$ tiene dimensión $k$.

Answer 2

Aquí es un resultado positivo (ver Fulton, las curvas Algebraicas, Corolario I. 7.4 en la página 23). Deje $k$ ser algunos algebraicamente cerrado de campo. Si $I \subseteq k[x_1,\dotsc,x_n]$ es un ideal, entonces $V(I) \subseteq \mathbb{A}^n(k)$ es finito si y sólo si $k[x_1,\dotsc,x_n]/I$ es finito-dimensional $k$-espacio vectorial. En este caso, tenemos $|V(I)| \leq \dim_k(k[x_1,\dotsc,x_n]/I)$.

De una manera más precisa el resultado es que ese $k[x_1,\dotsc,x_n]/\sqrt{I} \cong \prod_{P \in V(I)} k$, en particular,$\dim_k(k[x_1,\dotsc,x_n]/\sqrt{I})=|V(I)|$.

Answer 3

La respuesta es no, pero tu pregunta muy interesante, lleva a la más elemental de motivación para la introducción del esquema de la teoría elemental de la geometría algebraica.

Usted ve, si el común de la puesta a cero $X_{\mathrm{classical}}=V_{\mathrm{classical}}(I)$ consiste en establecer-en teoría (yo diría incluso físicamente) en $n$ puntos $N:=\dim_\mathbb C \mathbb{C}[x,y]/I\geq n$.
Si $N\gt n$, esto es una indicación de que algunos interesantes de la geometría está presente: $X_{\mathrm{classical}}$ es descrito por las ecuaciones que no son transversales suficiente, por lo que moralmente no describir una variedad más grande que el desnudo físico.
La más elemental ejemplo está dado por $I=\langle y,y-x^2\rangle$: tenemos $V_{\mathrm{classical}}(I)=\{(0,0)\}=\{O\}$
Todo el mundo piensa que es una mala idea hacer describir el origen como $V(I)$, es decir, como la intersección de una parábola y una de sus tangentes: una mejor descripción sería describir por el ideal de la $J=\langle x,y\rangle,$ en otras palabras, como la intersección de dos transversales de las líneas.
Sin embargo, el ideal de la $I$ describe una interesante estructura, más rico que un desnudo punto, y esta estructura se llama un plan.
Todo ello se refleja en la desigualdad estricta $$\dim_\mathbb C \mathbb{C}[x,y]/I=2=N\gt \dim_\mathbb C \mathbb{C}[x,y]/J=1=n=\text { number of physical points}.$$ Scheme theory in its most elementary incarnation disambiguates these two cases by adding the relevant algebra in the algebro-geometric structure, now defined as pairs consisting of a physical set plus an algebra: $$V_{\mathrm{scheme}}(J)=(\{O\},\mathbb{C}[x,y]/J )\subsetneq V_{\mathrm{scheme}}(I)= (\{O\},\mathbb{C}[x,y]/I ).$$

Bibliografía
Perrin la Geometría Algebraica es el más elemental de introducción a esta abajo en la tierra, la visión de los esquemas (cf. comienzo del Capítulo VI).

Answer 4

Como Jim señala, esto es falso en general. La afirmación correcta es que el $\mathbb C[x,y]/\sqrt{I}$ $n$- dimensional espacio vectorial.

Prueba: Escribir $\sqrt{I} = P_1\cap \cdots \cap P_m$ donde $P_i$ son los números primos mínima más de $I$. Desde $V(P_i)\subseteq V(I)$, vemos que cada una de las $V(P_i)$ es un único punto. Así, desde cada una de las $V(P_i)$ es distinta, obtenemos $m=n$. Además, cada una de las $P_i$ es máxima, por lo que el $P_i$ son comaximal por lo tanto, por el Teorema del Resto Chino obtenemos $$\frac{\mathbb C[x,y]}{P_1\cap\cdots\cap P_n}\cong\frac{\mathbb C[x,y]}{P_1}\times\cdots\times\frac{\mathbb C[x,y]}{P_n}\cong \mathbb C\times \cdots \times \mathbb C$$ con $n$ copias de $\mathbb C$.