$ \lim \limits_ {h \to \infty } \left ( \frac {f(10+ \frac {1}{h})}{f(10)} \right )^h $ dado que $ f(10) = 5, f'(10)=2$

Question

Tratando de encontrar este límite: $ \lim \limits_ {h \to \infty } \left ( \frac {f(10+ \frac {1}{h})}{f(10)} \right )^h $ dado que $ f(10) = 5, f'(10)=2$ .

Intentado: tomar el registro del límite, entonces se convierte en $ \lim \limits_ {h \to \infty } h \left ( \log\left (f(10+ \frac {1}{h}) \right )- \log f(10) \right ) $

No pude encontrar una manera de hacer uso de $f'(10)=2$ ...

¿Alguna pista?

Answer 1

Toma el tronco, $$ \lim \limits_ {h \to \infty } h \left ( \log \left (f \left (10+ \frac {1}{h} \right ) \right )- \log f(10) \right )= \lim \limits_ {h \to \infty } \frac { \left ( \log \left (f \left (10+ \frac {1}{h} \right ) \right )- \log f(10) \right )}{ \frac {1}{h}}$$ Desde $f(x)$ es diferenciable en $x=10$ y por suposición, $ \log f(x)$ diferenciable en $x=10$ .

Entonces el límite original es $( \log f(x))'$ en $x=10$ . Entonces usa la continuidad de la función exponencial, obtenemos el resultado, que es $e^{ \frac {2}{5}}$ .

Answer 2

Pista: deja $h = 1/n$ para que $n \rightarrow 0^+$ como $h \rightarrow \infty $ .

Answer 3

Por Taylor, $f(10+ \frac {1}{h}) =f(10)+ \frac {f'(10)}{h}+O( \frac1 {h^2}) $ así que $ \left ( \frac {f(10+ \frac {1}{h})}{f(10)} \right ) = \left ( \frac {f(10)+ \frac {f'(10)}{h}+O( \frac1 {h^2})}{f(10)} \right ) =1+ \frac {f'(10)}{10h}+O( \frac1 {h^2}) $ .

Desde $(1+a/h)^h \to e^a $ como $h \to \infty $ , $(1+ \frac {f'(10)}{10h}+O( \frac1 {h^2}))^h \to e^{f'(10)/10)} $ .