¿Cuál de los siguientes conjuntos está abierto en $C^2[0,1]$ ? Explique. (Topología en espacios normados)

Question

(a) $A= \{f \in C^2[0,1]:f(x)>0,\parallel f'\parallel_{\infty}<1, |f''(0)|>2\}$

(b) $B= \{f\in C^2[0,1]:f(1)<0,f'(1)=0,f''(1)>0 \}$

(c) $C= \{f\in C^2[0,1]:f(x)f'(x)>0$ para $0\le x \le 1\}$

(d) $D= \{f\in C^2[0,1]: f(x)f'(x)>0$ para $0\lt x \lt 1\}$

Tengo la intuición de que $A$ es un conjunto abierto ya que incluye todos los $f(x)>0$ , $B$ no es un conjunto cerrado ni abierto, ya que sólo se cumple para un elemento del intervalo, $C$ es un conjunto cerrado ya que incluye un conjunto abierto y tiene un límite y $D$ es un conjunto abierto ya que no incluye el límite.

Se agradecerá cualquier comentario,

Gracias.

Answer 1

Utilizo la norma $||f||_{C^2}= \max\limits_{0 \leq i \leq 2} ||f^{(i)}||_{\infty}$ (introducido en el ejemplo 7.1.4 del libro).

(a) $A$ está abierto:

Dejemos que $f \in A$ , $m= \min\limits_{x \in [0,1]} f(x) >0$ y $\epsilon>0 $ tal que $\epsilon<\min(m,1-||f'||_{\infty},|f''(0)|-2)$ .

Para $g \in B(f,\epsilon)$ , $|g(x)-f(x)| \leq ||f-g||_{\infty} < \epsilon$ así que $g(x)>f(x)-\epsilon \geq m-\epsilon>0$ ; $||f'-g'||_{\infty}< \epsilon$ así que $||g'||_{\infty}<||f'||_{\infty}+ \epsilon <1$ ; $|f''(0)|-|g''(0)| \leq |f''(0)-g''(0)| \leq ||f''-g''||_{\infty}<\epsilon$ así que $|g''(0)| >|f''(0)|-\epsilon >2$ .

Así, $g \in A$ y $B(f,\epsilon) \subset A$ .

(b) $B$ no está abierto:

Tome $f_n(x)=-1+(x-1)(x^3- \frac{3}{2} x^2+ \frac{1}{n}+ \frac{1}{2})$ y $f(x)=-1+(x-1)(x^3- \frac{3}{2} x^2+ \frac{1}{2})$ . Entonces $f \in B$ , $f_n \notin B$ y $||f-f_n||_{C^2} \leq \frac{1}{n}$ .

(c) $C$ está abierto:

Observe que $C=C_1 \cup C_2$ avec $C_1= \{ f \in C^2[0,1] \mid f>0, f'>0 \}$ y $C_2= \{ f \in C^2[0,1] \mid f<0, f'<0 \}$ . Por lo tanto, basta con demostrar que $C_1$ y $C_2$ están abiertos.

Dejemos que $f \in C_1$ , $m_1= \min\limits_{x \in [0,1]} f(x)>0$ , $m_2= \min\limits_{x \in [0,1]} f'(x)>0$ y $\epsilon>0$ tal que $\epsilon< \min(m_1,m_2)$ .

Para $g \in B(f,\epsilon)$ , $|g(x)-f(x)|< ||g-f||_{\infty}<\epsilon$ así que $g(x)>f(x)-\epsilon>m_1-\epsilon>0$ ; $|g'(x)-f'(x)|< ||g'-f'||_{\infty}<\epsilon$ así que $g'(x)>f'(x)-\epsilon>m_2-\epsilon>0$ .

Así que $g \in C_1$ y $B(f,\epsilon) \subset C_1$ . El mismo argumento sirve para $C_2$ .

(d) $D$ no está abierto.

Como $D=D_1 \cup D_2$ avec $D_1= \{ f \in C^2[0,1] \mid f>0, f'>0 \ \text{on} \ (0,1) \}$ , $D_2= \{ f \in C^2[0,1] \mid f<0, f'<0 \ \text{on} \ (0,1) \}$ y $D_1 \cap D_1= \emptyset$ basta con demostrar que $D_1$ no está abierto.

Tome $f(x)=x^3$ y $f_n(x)= \left\{ \begin{matrix} 0 & \text{if} \ 0 \leq x \leq 1/n \\ (x-1/n)^3 & \text{otherwise} \end{matrix} \right.$ . Entonces $f \in D$ , $f_n \in C^2[0,1]$ y $f_n \notin D$ pero $||f_n-f||_{C^2} \leq \frac{6}{n}$ .

Como un espacio normado es siempre conexo, ni $A$ ni $C$ están cerradas. Por otra parte, ni $B$ ni $D$ están cerradas. En efecto, $f \equiv 0$ está en el cierre de $D$ y de $B$ pero tampoco en $D$ ni en $B$ .