Infinitas soluciones para $(\frac{n+1}{n})^a\cdot (\frac{m+1}{m})^b = 2$

Question

Dado $(\frac{n+1}{n})^a\cdot (\frac{m+1}{m})^b = 2$ donde a, b, n y m son todos los enteros positivos, hay infinitamente muchas soluciones $(a,b,n,m)$?

Answer 1

Vamos a probar esto:

$(n+1)^{a}(m+1)^{b}=2\cdot n^{a}m^{b}$

Evidentemente o $(n+1)$ o $(m+1)$ debe ser, incluso, pero no tanto. Tomar $(n+1)=2^{j}\cdot r;(n+1)^{a}=2^{a\cdot j}r^{a}$

Ahora $n+1$ es relativamente primer a $n$ así que si $a\cdot j>1$ $m=2^{k}s$ y tenemos

$a\cdot j-b\cdot k=1$

Por lo tanto $(a,b),(a,j),(j,k),(j,b)$ son todos relativamente primos.

Cuando nos `ingeniería inversa" esto nos encontramos con un problema. Estamos a la izquierda con:

$r^{a}\cdot(2^{k}s+1)^{b}=(2^{j}r-1)^{a}(s)^{b}$

Así, cada factor de $r^{a}$ es un factor de $s^{b}$, y viceversa; $r=s,a=b$ .

Y la resolución positiva de la.

$a\cdot j-b\cdot k=1,a=b$ es

$a=b=1,j-k=1$

$\left(\frac{2^{j}}{2^{j}-1}\right)\left(\frac{2^{j-1}+1}{2^{j-1}}\right)=2$

$j=2$

Su solución