Por favor me Ayudan a derivar la derivada del valor absoluto de x utilizando la siguiente definición de límite. $$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} $$ No tengo idea de cómo empezar.Por Favor, Ayudar.
Gracias
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doraemonpaul
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$\dfrac{d}{dx}|x|$
$=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{|x+\Delta x|-|x|}{\Delta x}$
$=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{(|x+\Delta x|-|x|)(|x+\Delta x|+|x|)}{\Delta x(|x+\Delta x|+|x|)}$
$=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{|x+\Delta x|^2-|x|^2}{\Delta x(|x+\Delta x|+|x|)}$
$=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{(x+\Delta x)^2-x^2}{\Delta x(|x+\Delta x|+|x|)}$
$=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{x^2+2x\Delta x+(\Delta x)^2-x^2}{\Delta x(|x+\Delta x|+|x|)}$
$=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{2x+\Delta x}{|x+\Delta x|+|x|}$
$=\dfrac{x}{|x|}$
$=\dfrac{x|x|}{|x|^2}$
$=\dfrac{x|x|}{x^2}$
$=\dfrac{|x|}{x}$
Puesto que el valor absoluto se define por los casos, $$|x|=\left\{\begin{array}{ll} x & \text{if }x\geq 0;\\ -x & \text{if }x\lt 0, \end{array}\right.$$ tiene sentido tratar por separado los casos de $x\gt 0$, $x\lt 0$, y $x=0$.
Para $x\gt0$ $\Delta x$ lo suficientemente cerca de a $0$ tendremos $x+\Delta x\gt 0$. Así $f(x)= |x| = x$, e $f(x+\Delta x) = |x+\Delta x| = x+\Delta x$; el taponamiento de que en el límite, tenemos: $$\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{|x+\Delta x|-|x|}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{(x+\Delta x)-x}{\Delta x}.$$ Usted debe ser capaz de terminarlo ahora.
Para $x\lt 0$ $\Delta x$ lo suficientemente cercano a cero tendremos $x+\Delta x\lt 0$; por lo $f(x) = -x$$f(x+\Delta x) = -(x+\Delta x)$. Debe ser fácil para terminarlo.
La difícil es $x=0$. Yo sugiero utilizar uno de los límites laterales. Para el límite como $\Delta x\to 0^+$, $x+\Delta x = \Delta x\gt 0$; para $\Delta x \to 0^-$, $x+\Delta x = \Delta x\lt 0$; el (a una cara) límites de ahora debe ser sencillo.
