$F:G\to B$ es un isomorfismo entre los grupos implica $F^{-1}$ es un isomorfismo

Question

$F$ es un isomorfismo de grupo $G$ sobre grupo $B$. Demostrar $F^{-1}$ es un isomorfismo de $B$ a $G$.

No sé en que dirección ir.

Answer 1

Sugerencia: si $x,y\in B$, $x=F(g)$ $y=F(h)$ algunos $g,h\in G$. Entonces $$ F^{-1}(xy)=F^{-1}(F(g)F(h))=\ldots $$

Answer 2

Puesto que F es un isomorfismo de G en el grupo B sabemos que $F^-1$ es bijective que se dijo que sabemos de su 1-1 y sobre y todo el youd tiene que hacer es demostrar que $F^-1$ es la preservación de la operación

Answer 3

Discúlpenme por esta bastante pedante respuesta: un isomorfismo es un homomorphism$~f$ que tiene una inversa homomorphism$~g$, y dado que las condiciones para una relación inversa son simétricas (es decir,$f\circ g=1$$g\circ f=1$), es claro que $g$ es un isomorfismo (con inverse$~f$). No hay nada más que demostrar.

Ahora me doy cuenta de que esto no puede ser la definición de un isomorfismo de grupos que tiene a mano, ya que podría ser definido como un bijective homomorphism. Esa no es la definición correcta. Es válida la caracterización de isomorphisms de grupos, precisamente porque uno puede demostrar que la inversa de la bijection entonces es un homomorphism de grupos (y por supuesto, siendo bijective también es necesario tener una inversa homomorphism). Pero antes de esto se muestra, no hay ninguna justificación para llamar bijective homomorphisms isomorphisms. La definición de isomorfismo es siempre la de arriba en términos de homomorphisms, es válido en todas las categorías.

Ahora bien, sucede que en muchos algebraicas categorías (grupos, monoids, campos, espacios vectoriales, anillos, módulos, lo que sea) todos los bijective homomorphisms son isomorphisms. Esto es debido a que en tales categorías, todas las propiedades de una función de$~f$ debe satisfacer para ser un homomorphism son de la forma $$\def\Op{\operatorname{Op}} f(\Op(x_1,x_2,...))=\Op(f(x_1),f(x_2),...), $$ donde $\Op$ es una operación algebraica en la categoría. (Para los grupos de las pertinentes operaciones de multiplicación (con $2~$argumentos), inversa ($1~$argumento) y la identidad ($0~$argumentos), aunque resulta que lo requieran para la multiplicación por sí sola basta.) Dado que dicho requisito es válido para $f$ y $f$ tiene una función inversa$~f^{-1}$, $y_i=f(x_i)$ para todos los argumentos, por lo que el $x_i=f^{-1}(y_i)$, y se aplican $f^{-1}$ a ambos lados de la ecuación. Esto da después de la simplificación $\Op(f^{-1}(y_1),f^{-1}(y_2),...)=f^{-1}(\Op(y_1,y_2,...))$, por lo que el $f^{-1}$ satisface la misma necesidad. Esto se aplica en particular a los grupos, con $\Op(x,y)=xy$.

Answer 4

Debido a $F$ es un bijection, $F^{-1}$ es un bijection así. Ahora sabemos $$F(a\cdot b)=F(a)\cdot F(b)$$ Esto significa que $$F^{-1}(a\cdot b)=F^{-1}(F^{-1}(F(a\cdot b))) = F^{-1}(F^{-1}(F(a)))\cdot F^{-1}(F^{-1}(F(b))) = F^{-1}(a)\cdot F^{-1}(b)$$ Por lo tanto $F^{-1}$ es un isomorfismo de$B$$G$.