Acabo de empezar a leer un libro sobre análisis funcional, y la primera definición que se da allí es para una métrica y un espacio métrico:
Sea $\mathfrak{M}$ sea un conjunto arbitrario. Una función $\rho\colon \mathfrak M\times\mathfrak M\to[0,\infty)$ se llama métrico si tiene las siguientes propiedades:
1) $\rho(x,y)=0 \iff x=y$ (axioma de identidad)
2) $\rho(y,x)=\rho(x,y)\;\forall x,y\in\mathfrak M$ (axioma de simetría)
3) $\rho(x,y)\le\rho(x,z)+\rho(z,y)\;\forall x,y,z\in\mathfrak M$ (desigualdad triangular)
La pareja $(\mathfrak M,\rho)$ se llama espacio métrico .
La primera y la segunda identidad no me sorprenden, las entiendo. Pero ¿qué pasa con la imagen de $\rho$ y tercera desigualdad? No parecen cumplirse en el espacio de Minkowski, donde si comprobamos el intervalo como candidato a métrica, obtenemos $$s^2=t^2-x^2-y^2-z^2,$$ que puede ser negativo y violar la desigualdad triangular (y si se toma la raíz cuadrada, se vuelve complejo y la desigualdad no tiene sentido en este caso).
Así que esto claramente no es una métrica. ¿Pero no es entonces el espacio de Minkowski un espacio métrico? ¿Qué es entonces?
