Si n es tal que cada elemento de a $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{*}$ es una raíz de $x^2-1$. Demostrar que $n$ divide 24.

Question

Tengo un tiempo difícil la formulación de pruebas. Para este problema, puedo ver que si n es igual a 8, esta declaración es verdad. Tal que $(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})^{*}$ incluye elementos: 1,3,5,7 y todos estos son raíces de $1-x^2$ mod 8. Y, obviamente, 8 divide a 24.

Pero, ¿cómo puedo probar esto sin depender del número de cálculos y sólo el uso de teoremas? Ayuda Por Favor? Necesito un paso a paso de pie a pesar de cómo hacer esta prueba y lo teoremas sería apropiado utilizar.

Answer 1

Caso 1: $5 \nmid n$.

A continuación, $5^2 \equiv 1 \pmod n$ y, por tanto,$n|24$.

Caso 2: $5 \mid n$. Deje $n=5^am$$\gcd(5,m)=1$. Por el Teorema del Resto Chino, podemos encontrar algunos de $k$, de modo que

$$\begin{cases} k \equiv 1 \pmod{m} \\ k \equiv 2 \pmod{5} \end{casos}$$

A continuación, $\gcd(k,n)=1$ y por lo tanto

$$k^2 \equiv 1 \pmod{n}$$ Como $5\mid n$ obtenemos que

$$k^2 \equiv 1 \pmod{5}$$ Pero esto contradice $k \equiv 2 \pmod{5}$.

Answer 2

Supongamos que $n=2^\ell 3^{m}p_1^{e_1}\cdots p_r^{e_r}$. Sabemos que $$(\Bbb Z/n\Bbb Z)^\times\simeq (\Bbb Z/2^\ell\Bbb Z)^\times\times (\Bbb Z/3^{m}\Bbb Z)^\times\times (\Bbb Z/p_1^{e_1}\Bbb Z)^\times\times \cdots \times (\Bbb Z/p_r^{e_r}\Bbb Z)^\times$$

Supongamos $p>3$. Sabemos $(\Bbb Z/p_r^{e_r}\Bbb Z)^\times$ es cíclico de orden $\geqslant 4$, lo $x^2=1$ por cada $x$ es imposible. Por lo tanto necesariamente requerimos $n=2^\ell 3^m$ $$(\Bbb Z/n\Bbb Z)^\times\simeq (\Bbb Z/2^\ell\Bbb Z)^\times\times (\Bbb Z/3^{m}\Bbb Z)^\times$$

Supongamos $m>1$. Desde $(\Bbb Z/3^{m}\Bbb Z)^\times$ es cíclico de orden $\geqslant 6$ no podemos tener a $m>1$. Así tenemos

$$(\Bbb Z/n\Bbb Z)^\times\simeq (\Bbb Z/2^\ell\Bbb Z)^\times\times (\Bbb Z/3^{m}\Bbb Z)^\times$$ con $m=0,1$. Queda por mostrar $\ell=0,1,2,3$. Por último, si $\ell \geqslant 3$, $$(\Bbb Z/2^\ell\Bbb Z)^\times\simeq C_2\times C_{2^{\ell-2}}$$

Si $\ell >3$ tenemos $2^{\ell-2}\geqslant 4$, incompatible con $x^2=1$. Por lo tanto usted saber que $n$ debe ser de la forma $n=2^\ell 3^m$$\ell=0,1,2,3$$m=0,1$.

Answer 3

Una expresión algebraica es el siguiente:

Vamos a demostrar primero la afirmación de $n$ de la potencia de un primo. Así que supongamos $\mathbb{Z/p^eZ}$ es tal que para todos los $x\in(\mathbb{Z/p^eZ})^*$, $x^2-1=0$, a continuación, todos los elementos del grupo $(\mathbb{Z/p^eZ})^*$ tienen orden de $2$, luego por el Primer Teorema de Sylow $(\mathbb{Z/p^eZ})^*$ orden $2^n$ algunos $n$. Por lo tanto $\varphi(p^e)=p^{e-1}(p-1)=2^n$; de Euler totient función.

Ahora afirmo que debemos tener ese $p=2,3$. Para supongamos que no, entonces $[p^e-2]^2=[p^{2e}-4p^e+4]=[4],$$4<p$, sin embargo, como $p^e-2$ debe ser invertible en $\mathbb{Z/p^e}$; $e=1$, esta es una contradicción. Así que sólo podemos tener $p=2$ $e=0,1,2,3$ o $p=3$ $e=0,1$

Ahora, vamos a $n$ ser tal que la propiedad vale para $(\mathbb{Z/nZ})^*$. Deje $n=p_1^{e_1}\cdots p_n^{e_n}$ ser su descomposición en factores primos,a continuación, $$(\mathbb{Z/nZ})^*\simeq((\mathbb{Z/p_1^{e_1}Z}))^*\times\cdots\times(\mathbb{Z/p_m^{e_m}Z})^*,$$

y, entonces, la propiedad también debe tener para $(\mathbb{Z/p_i^{e_i}Z})^*$, por lo tanto $m\leq 2$ con $p_1,p_2\in\{2,3\}$, $e_1=0,1,2,3$ y $e_2=0,1$.

Answer 4

Si $x^2 = 1$ por cada elemento de un grupo abelian, entonces debe haber una muy particular de la estructura.

Las respuestas a esta pregunta describir la estructura de $(\mathbb{Z} / n \mathbb{Z})^\times$.

Answer 5

Deje $x=2m+1$.

$x^2-1=(x+1)(x-1)=(2m+2)(2m)=2^2m(m+1)$.

$m(m+1)$ es divisible por $6$, excepto cuando se $m \equiv 1 $ o $4$$(mod 6)$, y $x^2-1$ es un múltiplo de a$24$, excepto para aquellos casos. Vamos a llamar a los casos en que $m(m+1)$es divisible por 6 como en el Caso de que yo y otros como el Caso II.

$2^2m(m+1)$ debe ser divisible por $n$ arbitrarias $m$. La periodicidad de aparición de los factores de $2$ $3$ $m(m+1)$ necesita ser discutido aquí, ya que son los factores que aparecen con frecuencia en $m(m+1)$. Si no hay esa periodicidad, no todos los impares elementos se dividirá por $n$.

Caso I:

Cuando $m=0$, $2^2m(m+1)\equiv 0(mod n)$.

Cuando $m=2$, $2^2m(m+1)\equiv 24(mod n)$.

Cuando $m=3$, $2^2m(m+1)\equiv 48(mod n)$.

Cuando $m=5$, $2^2m(m+1)\equiv120(mod n)$.

Caso II:

Cuando $m=1$, $2^2m(m+1)\equiv8(mod n)$.

Cuando $m=4$, $2^2m(m+1)\equiv80(mod n)$.

Si para cada elemento de $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*$, $x^2-1$ es divisible por $n$, entonces n debe ser un divisor de a $8$ y se dividen $24$.