Cómo calcular $\cos(\arctan(2)) = 1/\sqrt{5}$

Question

Yo estoy haciendo las matrices y he girado una línea alrededor de un ángulo. El gradiente de mi línea estoy girando a la $x$eje $2$,$y=2x$. Así que, obviamente, el ángulo que forma la línea de $y=2x$ hace con el $x$eje $\arctan(2)$.

Mi pregunta es ¿cómo puedo llegar a $\cos(\arctan(2)) = 1/\sqrt{5}$. <---

El $1/\sqrt{5}$ es lo que estoy confundido, ¿cómo puedo conseguir esto?

Answer 1

Tenemos $$ \cos(x)=\frac{1}{\sqrt{\bronceado^2x+1}} $$ para $0\le x\le \frac{\pi}{2}$.

Esto implica $$ \cos(\arctan(2))=\frac{1}{\sqrt{\tan(\arctan(2))^2+1}}= \frac{1}{\sqrt{2^2+1}}=\frac{1}{\sqrt{5}} $$ porque de $0\le\arctan(2)\le \frac{\pi}{2}$

Answer 2

Bueno..

Deje $\arctan 2 = x$.

$\arctan (2) = x \implies \tan x = \sin x/\cos x = 2 \implies \sin x = 2 \cos x \implies \sin^2 x + \cos^2 x = 4\cos^2 x + \cos^2 x = 1 \implies \cos^2 x = 1/5 \implies \cos x = \pm 1/\sqrt{5}$.

Por convención, $\arctan$ toma valores en (-$\pi/2, \pi/2$) donde $\cos$ se presume que ser positivo. Por lo $\cos x = 1/\sqrt{5}$.

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En general si $\tan x = b$ $\sin x = b \cos x$ $\sin^2 x + \cos^2 x = (b^2 + 1) \cos^2 x$ $\cos x = 1/\sqrt{b^2 + 1}$ y, por tanto, la identidad trigonométrica $\cos x = 1/\sqrt{\tan^2 x + 1}$ que es la confesión, el tiempo, una de esas identidades trigonométricas estoy totalmente de puede no recordar y derivar cada una de las veces.

Answer 3

$$\cos(\arctan(\color{red}2)) = \frac{\color{green}1}{\color{blue}{\sqrt{5}}}$$

$$\color{red}2^2 + \color{green}1^2 = \color{blue}{\sqrt 5}^2$$

$$\cos(\theta) = \frac{\color{green}1}{\color{blue}{\sqrt 5}}$$ $$\tan(\theta) = \frac{\color{red}2}{\color{green}1}$$