Función ' continuación analítica de s es su derivado

Question

Esta es la pregunta que se nos pidió en la universidad nuestro profesor de análisis complejo. No como un examen, sino como un desafío. No creo que él sabía la respuesta a sí mismo.

Encontrar un trivial ejemplo de una función $f$ definida en una vecindad de a $z\in \Bbb C$ y una ruta de acceso desde $z$ a $z$, de modo que la continuación analítica de $f$ a lo largo de la ruta de acceso es de $f$.

Es fácil encontrar ejemplo trivial: $e^x$. Lo que yo quiero es $f\ne f'$.

Una variación a este problema, pero mucho más fácil, es encontrar $f$ cuya continuación analítica es de $f+$, $af$, o $-f$ ($a\in \Bbb C$).

Son un logaritmo, un poder y una raíz cuadrada.

Pero la pregunta en el título I nunca sabía cómo afrontar. ¿Alguien puede arrojar algo de luz sobre ella, por favor?

Answer 1

No una respuesta positiva, pero una observación acerca de la especie de continuación analítica que podría satisfacer su desafío problema. Si $f$ tiene la propiedad deseada, entonces se tiene que la propiedad de todo el camino alrededor de la ruta $\gamma$. Es decir, en cualquier punto en $\gamma$, si seguimos $f$ y uno a tiempo completo de alrededor de $\gamma$ obtenemos la derivada. La siguiente es la justificación (que no era inmediatamente obvio para mí, a pesar de que puede ser para usted).

Primero un poco de notación.

Deje que $\gamma$ indicar la ruta en cuestión, que se supone ser parametrizado con dominio $[0,1]$. Desde $\gamma$ es cerrado, para $s\in[0,1]$, podemos definir $\gamma_s$ a ser la concatenación de la restricción de $\gamma_{[s,1]}$, seguido por $\gamma_{[0,s]}$. Usando aritmética modular (modulo $1$) podemos pensar de $\gamma_s$ tener dominio $[s,s+1]$.

Deje de $f_s$ denotar la continuación analítica de $f$ a lo largo de la ruta $\gamma_{[0,s]}$ (visto como el que tiene por su dominio de un barrio de $\gamma(s)$). Estamos suponiendo que ${f_0}'=f_1$.

Deje que $A\subconjunto[0,1]$ ser el subconjunto tal que $i\in A\Leftrightarrow$ la continuación analítica de $f_r$ junto $\gamma_r$ es ${f_r}'$. Estamos suponiendo que $A$ $0$ (y por lo tanto es no-vacío). Es inmediato a partir de la definición de funciones analíticas que $a$ es abierto. No es difícil demostrar que $a$ es cerrado (ya que si los puntos donde dos funciones son iguales tiene un punto de acumulación en su dominio común, son iguales en su dominio común). Por Lo Tanto $A=[0,1]$.