La búsqueda de fórmulas para las asignaciones que distorsionan uno o más de área, la forma y la distancia

Question

Estoy queriendo crear una geometría simple lección para los niños sobre cómo las distintas proyecciones de distorsionar área, forma y distancia. Me gustaría ejemplos de fórmulas que se asignan los puntos en el plano a otros puntos en el plano que distorsionan una o más de las propiedades. Me doy cuenta de que donde el centro de proyección es la que importa.

Estoy particularmente interesado en los ejemplos de proyecciones que salen de una propiedad intacta, mientras que distorsionan los demás.

Answer 1

Algunos no lineal simple área de la preservación de los mapas de $\mathbb R^2$ $\mathbb R^2$incluye el de no-lineal cortante mapa

$$(x,y) \mapsto (x,\; y+f(x))$$

y su versión de coordenadas polares

$$(r,\theta) \mapsto (r,\; \theta+f(r))$$

para cualquier función arbitraria $f: \mathbb R \to \mathbb R$. Por supuesto, también puede combinar estos en varias maneras de crear una zona muy complicada-la preservación de los mapas.

(Ilustraciones basadas en este dominio público de la imagen por Scott Bauer / USDA, creado con el GIMP.)

Answer 2

Si todas las distancias se conservan, podrán también ser preservado (isometrías han determinante $+1$ o $-1$, y por lo tanto, preservar la zona). Sin embargo, $(x,y)\mapsto(2x,y/2)$ conserva área, pero altera la mayoría de las distancias.

Si, como se ha comentado, por la forma de decir "la forma de un conjunto de puntos es toda la información geométrica que es invariante a translaciones, rotaciones y cambios de tamaño," entonces nada de lo que conserva todas las distancias, también a preservar la forma. De nuevo, $(x,y)\mapsto(2x,y/2)$ conserva área y altera la forma. Además, $(x,y)\mapsto(2x,2y)$ conserva la forma, pero altera la distancia y el área.

Los mapas que conservan la distancia son llamados isometrías. Los mapas que preservar la forma son constantes múltiplos de isometrías. Mapas de zonas de reserva han Jacobiana Determinante igual a $+1$ o $-1$ en todas partes.

No Triviales Ejemplo de un Área de Preservación Mapa

Los Lambert Proyección Cilíndrica de la esfera en el cilindro tangente al ecuador de la esfera es un área de preservación de mapa. El cilindro puede entonces ser isométricamente desenrolla a un rectángulo en el plano. La composición de estos mapas es un área de preservación mapa de la esfera a un rectángulo: $$ (x,y,z) \mapsto (\bronceado^{-1}(x/z),y)\etiqueta{1} $$ La inversa de mapa de $(1)$ toma un rectángulo con la esfera: $$ (x,y) \mapsto (\sqrt{1-y^2}\;\sin(x),y,\sqrt{1-y^2}\;\cos(x))\etiqueta{2} $$ Para obtener no trivial de la zona de preservación de mapa desde el avión el avión, vamos a trazar el plano de la esfera de uso $(2)$, gire la esfera de $\pi/2$ radianes alrededor de la $z$-eje, entonces el mapa de regreso al plano usando $(1)$, y finalmente girar el avión para regresar a la orientación original en el origen. Aquí es el de la zona-la preservación de mapa: $$ (x,y)\mapsto\left(\sqrt{1-y^2}\;\sin(x),\bronceado^{-1}\left(\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}\sec(x)\right)\right) $$ Otras rotaciones de la esfera de rendimiento de otras zonas en la preservación de los mapas.