Comprobar si los polinomios son linealmente independientes.

Question

Me gustaría comprobar si los polinomios $1, 1+t^2, 1+t+t^2$ son linealmente independientes.
Mi idea es:
$1 \to [1,0,0]$
$1+t^2\to [1,1,0]$
$1+t^2+t^3 \to [1,1,1]$
Y ahora $\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} \right)$
Me gustaría encontrar el rango de esta matriz. El rango de esta matriz es$3$, por lo que las columnas son linealmente independientes.

Es correcto el razonamiento ?

Answer 1

Sólo por diversión, usted puede usar la definición de independencia lineal. Que es, decir que $$un(1) + b(1 + t^2) + c(1 + t + t^2) = 0.$$ Entonces $$(a + b + c)1 + (c)t + (b + c)t^2 = 0.$$ Ahora usted probablemente sabe que $\{1,t,t^2\}$ es linealmente independiente. Así $$\begin{align} c &= 0 \\ b + c &= 0 \Rightarrow b = 0 \\ a + b + c &= 0 \Rightarrow a = 0. \end{align}$$

Answer 2

Las coordenadas de los vectores con respecto a la base $\{1,t,t^2\}$ $$\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix} \quad \begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix} \quad \begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}$$ por lo que la matriz tiene que calcular el rango de es $$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$$ El intercambio de las filas 2 y 3 trae a unitriangular forma, por lo que el rango es $3$.

Alternativamente, usted puede observar que $$t=(1+t+t^2)-(1+t^2)\\ t^2=(1+t^2)-1$$