Es bien sabido que cualquier grupo finito puede ser comprendido como un subgrupo de un grupo de permutación. Pero es cierto que cualquier grupo finito puede ser comprendido como un subgrupo de un diedro grupo?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
No, porque cada grupo diedro $D_n$ es solucionable, y por lo tanto cada subgrupo de $D_n$ es solucionable, demasiado.
En realidad, más se puede decir. Cada subgrupo de $D_n$ es cíclico o diedro, ver Teorema $3.1$ de K. Conrad notas. Por lo tanto, dicen, $Q_8$ no puede ser embebido (la que vemos por Doeke la respuesta).
DragonTux
Puntos
144
No. Dietrich Burde la razón es muy agradable, pero no son fáciles de primaria de hormigón contraejemplos. He aquí uno:
$Q_8 = \{\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k\}$ tiene seis elementos de orden $4$, pero no diedro grupo tiene esta propiedad: todas las reflexiones en un diedro grupo tiene orden 2, y la única rotaciones de orden $4$ son las rotaciones $\frac{\pi}{2}$$\frac{3\pi}{2}$, por lo que un diedro grupo tiene en la mayoría de los dos elementos de orden $4$.
