Identidades derivadas de la Identidad de Euler

Question

Estoy aprendiendo acerca de la identidad de Euler. Si vas a jugar con ella, estoy recibiendo algunos inquietante identidades, que, creo, es probablemente debido a mi falta de aplicación de ciertas reglas.

Comenzando con:$$e^{\pi i}=-1$$ Es esta afirmación verdadera: $$\pi i = \ln(-1)$$ $$\to \ln(-1*n)= \pi i+\ln(n)$$ También éste claramente no aguantan: $$\ln(1)=0$$ $$\ln(1)=\ln(-1*-1)= \ln(-1)+\ln(-1)=\pi i + \pi i$$ $$\to 2\pi i=0 \to2=0$$ Por favor me asesoren en lo que me estoy perdiendo.

Answer 1

Como el cuadrado de la raíz, el registro es tratada como un "multi-función con valores." Es sólo que cuando nos restringimos al real positiva de la línea, lo podemos hacer de un solo valor. (Como lo hacemos con la raíz cuadrada en álgebra 1.)

Así que el primer par de cosas que usted derivados están a la derecha: uno de los logaritmos de $-1$$\pi i$. Los demás todos se diferencian entre sí por múltiplos de $2\pi i$. Así que cuando usted encuentra que $\log(1) = 0$$\log (1) = 2\pi i$, que está muy bien: se dice que hay muchos valores del registro. (Sorta como escribir $1^\frac{1}{2} = 1$$1^{\frac{1}{2}} = -1$, lo que cada uno significa que la cosa de la derecha, cuadrado, da $1$.)

A decir de esto un poco más elegante: no hay un solo registro de la función definida en todo el plano complejo (excepto en el origen) que es continua en todo el plano complejo (excepto en el origen), así como no hay continua de la raíz cuadrada de la función definida en todo el plano complejo.

Por larga tradición, se compromete a no intentar hacer de registro continuo en el eje real negativo; entonces podemos definir un único coherente logaritmo que es continua en todas partes excepto en el eje real negativo (y 0, de donde es indefinido). Este único registro coherente, para que $\log(1) = 0$, que se llama la "rama principal" del logaritmo. A veces denotado $\mathrm{Log}$, creo.

Hay otro perfectamente bien logaritmo como función, que voy a llamar a $\widehat{\log}$: se define por

$$ \widehat{\log}(x) = \log x + 2 \pi i $$ Tiene todas las propiedades de $\log$, salvo que $\widehat{\log}(1) = 2\pi i$ en lugar de $0$.

También puede definir otros registro de cosas como, por adición de $4 \pi i$, $-6 \pi i$, etc. a $\log$.

Tomados en conjunto, tenemos algo para que $$ \log(ab) = \log(a) + \log(b) $$ donde aquí "de registro" se refiere a cualquiera de las funciones que he mencionado anteriormente, sostiene en una especie de sentido limitado: si añades $\log(a)$$\log(b)$, obtendrá $\log(ab)$...pero sólo hasta múltiplos de $2 \pi i$. Es decir: $$ \log(ab) - \log(a) - \log(b) = 2\pi i ~n $$ para algunos entero $n$.

Answer 2

La identidad de la primera es verdadera. Bastante limpio, ¿verdad?

Sin embargo, en general, en el complejo de la extensión del logaritmo $$ \log(ab) \ne \log(a) + \log(b) $ $ , que elimina las otras preocupante identidades llegar.

La función de registro se construye a partir de la función exponencial de la siguiente manera: Una función $\log(z)=u(x,y) + iv(x,y)$ tal que $z = e^{u+iv} = e^u e^{iv}$, de modo que $e^u = \lvert z \rvert \implies u = \ln{\lvert z \rvert}$$v=\arg(z)$, de modo que tenemos $$ \log(z) = \ln{\lvert z \rvert} + i \arg({z}) $$ Tenga en cuenta que no tenemos una restricción en el rango de $\arg(z)$, de modo que tenemos una función de varios valores. Esto implica que $\arg(ab) \neq \arg(a) + \arg(b)$ en general, de manera que, en general, $$\log(ab) = \ln{\lvert ab \rvert} + i \arg(ab) \neq \ln{\lvert a \rvert \lvert b \rvert} + i(\arg(a)+\arg(b)) = (ln {\lvert a \rvert} + i \arg(a)) + (\ln(\lvert b \rvert) + i \arg(b) ) = \log(a) + \log(b).$$