Hartshorne ejercicio sobre las poleas en $\mathbb{P}^1$

Question

He sido atrapado en el Ejercicio II.1.21(e) de Hartshorne del libro por un buen rato. Se trata de la línea proyectiva $\mathbb{P}^1$ más de una algebraicamente cerrado campo de $k$: escriba $\mathscr{H}$ para la constante de gavilla con valores en el campo de función $K$ $\mathcal{O}$ para la estructura de la gavilla. El contenido de este ejercicio es que el mapa mundial de las secciones $\Gamma(X,\mathscr{H}) \to \Gamma(X,\mathscr{H}/\mathcal{O})$ es surjective. En el anterior subexercise una muestra que el $\mathscr{H}/\mathcal{O} \cong \bigoplus_{p \in \mathbb{P}^1} i_p(K/\mathcal{O}_p)$ donde $i_p$ es el rascacielos gavilla de la construcción en $p$.

Así que la siguiente será suficiente: dado $f \in K$$p \in \mathbb{P}^1$, necesitamos producir $g \in K$ tal que $f - g \in \mathcal{O}_p$ $g \in \mathcal{O}_q$ todos los $q \neq p$. Pero estoy en una pérdida en cuanto a cómo hacer tal cosa. Supongo que el primer paso es quitar algún punto, además de a $p$, lo $\mathbb{A}^1 \subset \mathbb{P}^1$ es lo que sobra, y escribir $f$ explícitamente en términos de la coordenada en $\mathbb{A}^1$. Es posible que alguien me apunte en la dirección correcta? Me gustaría especialmente agradecido por una conceptuales más o menos ad hoc sugerencia o explicación.

Answer 1

Fix$f\in K$$p\in\mathbf P^1$. Usted está buscando un $g\in K$ tal que

• $g\in\mathcal O_q$ todos los $q\neq p$, y

• $f-g\in\mathcal O_p$.

La primera condición implica que $g$ tiene polos sólo posible en $p$. La segunda, que la diferencia de $f-g$ no tiene polos en $p$. En otras palabras, $g$ es la singular parte de $f$$p$. Así que para la construcción de $f$ podemos escribir la fracción parcial de la descomposición de~$f$ y la caída de todos los términos con un poste en un punto diferente de $p$.

Answer 2

He aquí lo que mi solución fue cuando tomé el curso:

Sabemos que $\Gamma(X,\mathcal{O})=\mathcal{O}(X) = k$ por el Teorema I. 3.4; también tenemos $\Gamma(X,K) = K(X) = k(x)$, también por el Teorema I. 3.4. Finalmente, de nuevo por el Teorema I. 3.4, con $k(x)/k[x^{-1}]_{(x^{-1})}$ correspondiente al punto en el infinito, tenemos $$\Gamma(X,K/\mathcal{O}) = k(x)/k[x^{-1}]_{(x^{-1})} \oplus \bigoplus_{\alpha\in k}k(x)/k[x]_{(x-\alpha)}.$$ El reclamo es que $$0\to k\to k(x) \to k(x)/k[x^{-1}]_{(x^{-1})}\oplus\left(\bigoplus_{\alpha\in k} k(x)/k[x]_{(x-\alpha)}\right)\to 0$$ es exacto; y esto solo significa que muestra el último mapa es surjective.

Nota: La idea básica fue bueno, pero fue mal formulada aquí. Parte de ella parece haber sido algunos de los ejercicios anteriores en esa tarea. Me estoy replanteando.

Fix $P$ y deje $f+\mathcal{O}_{P}\in K/\mathcal{O}_{P}$ ser distinto de cero de la entrada. El uso de una fracción parcial de la descomposición podemos escribir $$f + \mathcal{O}_P = \sum_{i=1}^n f_i + \mathcal{O}_P$$ donde cada una de las $f_i$ es tal que $$\frac{1}{f_i} = \lambda_i\pi^{n_i}$$ con $\lambda_i\in K$, $\pi$ un uniformizer de $\mathcal{O}_P$, y $n_i\gt 0$. E. g., para $\mathcal{O}_0$, usted puede encontrar los escalares $a_0,\ldots,a_k$ tal que $f+\mathcal{O}_p = \frac{a_0}{x} + \cdots + \mathcal{a_k}{n^k} + \mathcal{O}_p$. Ahora vamos a $$ g = \sum_{i=1}^n \frac{1}{\lambda_i}\pi_i^{-n_i}\in K(X).$$ A continuación, $g$ mapas a $0$ $K/\mathcal{O}_Q$ cualquier $Q\neq P$, y desde $$\lambda_i\pi_i^{-n_i} = \frac{1}{f_i}$$ entonces $$g\equiv \sum_{i=1}^n f_i \equiv f\pmod{\mathcal{O}_p}$$ por lo $g\in K(x)$ se asigna al elemento que ha $f$ $P$- componente, y ceros en otros lugares. Dado que estos elementos generan $$k(x)/k[x^{-1}]_{(x^{-1})}\oplus\left(\bigoplus_{\alpha\in k} k(x)/k[x]_{(x-\alpha)}\right)$$ esto muestra el último mapa es surjective.