Qué $(\{0,1\},*)$ formar un grupo?

Question

Estoy leyendo mi primer libro sobre álgebra abstracta. Yo no estoy inscrito en una clase sobre el tema.

Dado $S = \{0,1\}$. Es $(S,\cdot)$ un grupo?

$S$ es cerrado bajo la multiplicación. $$0\cdot1=0,\,1\cdot0=0,\,0\cdot0=0,\,1\cdot1=1.$$ $S$ tiene una identidad, $1$, creo.

$$0\cdot1=0,\,1\cdot1=1.$$

No creo $S$ satisface $a\cdot a^{-1}=\operatorname{id}.$

Sin embargo, no se incluye el cero cuando afirma que $\mathbb R$ satisface $a\cdot a^{-1} = \operatorname{id}$ bajo la multiplicación.

$S$ sería un grupo si no se incluye el cero. $1\cdot1=1.$

Así es $S$ un grupo o no?

Answer 1

Buscando en la estructura de la $S = (\{0, 1\}, \cdot)$, como se encontró, $\,0\,$ no (multiplicativo) de forma inversa.

Por lo tanto, $S$, en virtud de la multiplicación, no puede ser un grupo, ya que no tiene cierre en la toma de matrices inversas. Se cumple con otros criterios de un grupo, pero no el grupo axioma que requieren que el inverso de cada elemento de un grupo, es la contenida en el grupo.

Sin embargo, $S' = \{1\}$, en virtud de la multiplicación, es un grupo: se llama trivial grupo, ya que contiene un solo elemento: el (multiplicativo) de la identidad del propio grupo.

Si usted sabe acerca de la adición de números enteros modulo $n$, entonces usted debe saber que $\,\mathbb Z_2 = \left(\{0, 1\}, +\right)\,$ es un grupo: es el grupo aditivo de los enteros bajo la adición módulo $2$.

Answer 2

Decir que un conjunto es un grupo requiere especificar el grupo de operación. Es fácil pasar por alto este punto sutil porque es comúnmente izquierda cuando el autor asume que la operación se entiende implícito, por ejemplo, usted verá "$\mathbb{Z}$ es un grupo" en todas partes, pero técnicamente debería ser "$\mathbb{Z}$ es un grupo bajo la adición". Acabamos de hablar de $\mathbb{Z}$ bastante a menudo en el grupo de teoría que nos resulta tedioso de escribir "bajo" cada vez.

La respuesta es que $\{0,1\}$ es un grupo en adición módulo $2$, pero no bajo la multiplicación.

Cabe señalar, sin embargo, que cualquier finito$^\star$ conjunto es un grupo bajo un inducida por la acción del grupo simétrico de la orden de ese conjunto. Usted probablemente no va a entender lo que quiero decir con esto hasta más tarde (cuando llegue a del teorema de Cayley), pero, en el ínterin, tenga en cuenta que cualquier finito$^\star$ conjunto puede ser hecho en un grupo.

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EDIT: debo admitir que en mi primer proyecto de esta respuesta se me olvidó incluir la palabra "finito." Como Qiaochu señala que la declaración es verdadera sin "finito" (suponiendo que la elección), sin embargo es importante señalar que este no es un resultado de Cayley del teorema. Ver su comentario a continuación un enlace que contiene más detalles.

Answer 3

Por lo tanto, no es un grupo. Si usted adición módulo 2, es un grupo.

Answer 4

Todos los demás se han señalado correctamente que el conjunto {0, 1} en la multiplicación no forman un grupo. Este parece ser el origen de la confusión, así que sólo responder a esta:

Sin embargo, no se incluye el cero cuando afirma que $\mathbb{R}$ satisface $a\cdot a^{−1}=id$ bajo la multiplicación.

Vamos a ser claros: $\mathbb{R}$ no es un grupo bajo la multiplicación. (¿Por qué? Porque hay no $0^{-1}$.) La "exclusión" de cero que se está hablando que usted requiere para quitarlo del conjunto completo. Es decir, el conjunto $(\mathbb{R} - \{0\})$ es un grupo bajo la multiplicación, pero cuando pones 0 en, deja de ser un grupo más.

Esta es una característica común de objetos como este (no voy a hacer que precisa, pero se puede buscar la palabra nilpotent):

• si desea modificar $M_4(\mathbb{C})$ ($4\times 4$ matrices con entradas complejas), de modo que se forma un grupo bajo la multiplicación, primero debe tirar todos de la no invertible matrices, por ejemplo,$\left(\begin{smallmatrix} 1&1&1&1\\1&1&1&1\\1&2&3&4\\5&6&7&8\end{smallmatrix}\right)$. Es decir, lo que te queda al final puede o no puede ser un grupo bajo la multiplicación, pero esto no va a ser $M_4(\mathbb{C})$, debido a $M_4(\mathbb{C})$ definitivamente no lo es.
• si desea modificar el $\mathbb{Z}/10\mathbb{Z}$ (el conjunto que contiene los números 0, 1, 2, ..., 9) para formar un grupo en virtud de la multiplicación (mod 10), primero se debe tirar todos de la no invertible números, por ejemplo,$4$$5$. (Terminan de tirar 6 de los 10 elementos.)

Answer 5

S es un idempotente conmutativa monoid, pero no es un grupo, ya que no tiene inversa. De modo que otras personas han mencionado ({0, 1}, adición módulo 2) es un grupo de aquí. Tal vez la siguiente información le ayudará a lo largo. Supongamos que considerar todas las posibles operaciones en {0, 1} definidos exclusivamente por su formato de tabla como la siguiente:

X  0  1
0  0  0
1  0  1

¿Existe otro grupo? Si cualquier otro grupo existe ¿existe alguna relación entre los grupos?