Loopspace contigüidad: cuando se de la unidad o counit equivalencias?

Question

Para (niza?) señaló espacios, la reducción de la suspensión de la $\Sigma$ medico adjunto del bucle espacio de $\Omega$. Esta contigüidad está dada por la unidad de los mapas

$\eta_X : X \to \Omega \Sigma X$, $x \mapsto (t \mapsto [x,t])$

y el counit mapas

$\varepsilon_X : \Sigma \Omega X \to X , [\omega,t] \mapsto \omega(t).$

Pregunta. Para que $X$ $\eta_X$ un homotopy equivalencia? Para que $X$ $\varepsilon_X$ un homotopy equivalencia?

Si esto es útil, vamos a suponer que $X$ es lo suficientemente agradable (por ejemplo un CW complejo). También se puede reemplazar "homotopy equivalencia" por "homología de equivalencia", etc., si esto da lugar a interesantes declaraciones. Si no hay ninguna caracterización: ¿Qué son interesantes las clases de ejemplos? Y no hay ninguna fuente en la literatura donde este tipo de pregunta se estudia?

Answer 1

Hatcher Teorema de 4J.1:

El mapa de $J(X)\to \Omega \Sigma X$ es un débil homotopy de equivalencia para cada conectado CW complejo de $X$.

Aquí $J(X)$ es de James reducido producto de $X.

Hatcher La Proposición 3.22:

Para $n > 0$, $H^*(J(S^n);\mathbb Z)$ consta de una $\mathbb Z$ en cada una de las dimensiones de un varios de $n$.

Así que tu pregunta falla ya para las esferas.

Edit: Corolario 4.J.3 también indica lo cerca que usted puede conseguir. El mapa de $X\to \Omega\Sigma X $ factores a través de $J(X)$ $(J(X),X)$ $2n+1$ conectado.

Edit2: Y en este trabajo los autores muestran que el homotopy fibra del mapa $S\Omega X\to X$ tiene el homotopy tipo de $\Omega X\ast\Omega X$, la combinación de $\Omega X$ con sí mismo.

Answer 2

Usted puede construir sobre Simón respuesta, aunque. $J(X)$ tiene una gran definición, usted debe comprobar hacia fuera. A continuación, puede ser fácil de ver cuando podría ser verdad o ¿por qué siempre debe fallar. (¿puede un álgebra nunca se isomorhpic como un álgebra para el tensor de álgebra generada por ella?)

Otra sugerencia es que usted puede ser que intente responder a la homología de equivalencia por sí mismo el uso de la Serre espectral de la secuencia (utilizando la ruta de acceso de bucle espacio fibration). Apuesto a que esto va a emparejar bien con el tensor de álgebra pregunta.

Buena pregunta, pero apuesto a que no será el caso en cualquier situación. No te pongas triste, aunque, cómo a menudo es la unidad o counit de la libre olvidadizo contigüidad un isomorfismo?

A pesar de que hay otros adjunctions que se comportan mucho mejor, como Dold-Kan y la contigüidad entre el$sSets$$Top$.