La zona gris es igual a la zona blanca

Question

Problema. Demostrar que la suma de las áreas de las regiones blancas es igual a la suma de las áreas de la gris de las regiones. Todos los ángulos consecutivos entre los acordes $45^\circ$.

Una solución (no totalmente Euclidiana) puede obtenerse como sigue: supongamos que dos perpendicularmente cruzaba los acordes se dividen en trozos de tamaños de $a,b$$c,d$, resp. Entonces, no es difícil mostrar que $$ a^2+b^2+c^2+d^2=4R^2 $$ donde $R$ es el radio del círculo. Supongamos ahora que tenemos una rotación de todos los cuatro acordes de ángulo de $\vartheta$, entonces esto puede ser fácilmente demostrado que $$ Gris(\vartheta+\Delta\vartheta)=Gris(\vartheta)+{\mathcal O}(\Delta\vartheta^2), $$ y, por tanto,$Grey'(\vartheta)=0$.

Podemos producir una solución que es adecuado para las Escuelas?

EDIT. La nueva figura corresponde a la Prueba sin palabras por L. Carter & S. Wagon (1994a), "la Prueba sin Palabras: Asignación Justa de una Pizza", las Matemáticas de la Revista 67 (4): 267.

Answer 1

Este es un intento de dar algo preliminar de los lemas, con el fin de proponer a sus alumnos una variación menor de su maravillosa prueba. La ecuación paramétrica de la traducción de su círculo está dada por: $$(a+\cos\varphi,b+\sin\varphi) \tag{0}$$ por tanto, la polar, la ecuación está dada por: $$ \rho(\theta)^2 = a^2+b^2+1+2a\cos\varphi+2b\sin\varphi,\qquad \tan\theta=\frac{b+\sin\varphi}{a+\cos\varphi} \tag{1}$$ y puesto que el área en coordenadas polares es dada simplemente por $\frac{1}{2}\int \rho(\theta)^2\,d\theta$ (que es la parte más difícil de probar, pero creo que el principio de Cavalieri y triangulaciones debe hacer el trabajo muy bien), la pizza teorema se reduce a mostrar que la $$\large\scriptstyle \left(\int_{0}^{\pi/4}+\int_{\pi/2}^{3\pi/4}+\int_{\pi}^{5\pi/4}+\int_{3\pi/2}^{7\pi/4}\right)\, \rho^2(\theta)\,d\theta = \left(\int_{\pi/4}^{\pi/2}+\int_{3\pi/4}^{\pi/2}+\int_{5\pi/4}^{3\pi/2}+\int_{7\pi/4}^{2\pi}\right)\, \rho^2(\theta)\,d\theta \tag{2}$$

Ahora la proposición $11$ de Arquímedes' libro de los lemas se puede leer como: $$ \forall\theta,\quad \sum_{k=0}^{3}\rho^2\!\!\left(\theta+\frac{k\pi}{2}\right)=4, \tag{3}$$ por lo tanto, tanto el lado derecho y el lado izquierdo de $(2)$ igual $\color{red}{\pi}$.

En principio, sólo puede usar $(1)$ a demostrar que, al nombrar a $g(a,b)$$LHS$$(2)$, $$\nabla g = 0 \tag{4}$$ se mantiene, sino que implica un poco desagradable cambios de variables y la diferenciación bajo el signo integral, y probablemente no es adecuado para los estudiantes de escuela secundaria.