El siguiente ejercicio es de Rotman, Una Introducción a la teoría de grupos, 4ª ed, p324. "Las condiciones siguientes en un grupo G son equivalentes: (i) G es divisible, (ii) Cada valor distinto de cero cociente de G es infinito, (iii) G no tiene la máxima subgrupos".
Me pueden demostrar que (i) implica (ii) y que (ii) es equivalente a (iii), pero estoy teniendo problemas con mostrar que (iii) implica (i) y (ii) implica (i). Alguna sugerencia?
Es suficiente para mostrar que iii) implica i).
Deje $\Phi(G) $ ser el Frattini subgrupo de G, es decir, la intersección de todos los maximal subgrupos de G. Hay un lema debido a Dlab que los estados $$\Phi(G) = \bigcap_{p \in \mathbb{P}} \ pG$$ where $\mathbb{P}$ es el conjunto de primer enteros.
Por lo $\Phi(G) = G \Leftrightarrow G$ no tiene máximo subgrupos, y en este caso $G = \bigcap_{p \in \mathbb{P}} \ pG$, es decir, G es divisible.
Un mayor acercamiento elemental a mostrar $(iii) \Rightarrow (i)$ es para mostrar el contrapositivo: Supongamos $G$ no es divisible, entonces para algunos mínimo entero positivo $n$, $nG < G$ es un buen subgrupo. Desde $G$ es abelian, $nG$ es normal. Ahora, considere el cociente $G/nG$; esto es, nuevamente, un grupo abelian donde cada elemento de a $G/nG$ ha pedido dividiendo $n$.
Para encontrar una adecuada subgrupo maximal de a $G/nG$ hay dos casos a considerar, si $n$ es primo, a continuación, $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ es un campo y $G/nG$ es de hecho una $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$-espacio vectorial, entonces por el lema de Zorn se puede encontrar una base y un máximo de "codimension 1" de subespacio. Si $n$ es compuesto, os dejo el argumento de ti, y estoy seguro que usted puede imaginar el resto.
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