Atiyah y MacDonald, Proposición 2.4

Question

Dejemos que $M$ sea una entidad finitamente generada $R$ -módulo, $\mathfrak a \lhd R$ un ideal y $\phi:M\to M$ un $R$ -un mapa lineal tal que $\phi(M)\subseteq \mathfrak a M$ . Entonces $\phi^n+a_1 \phi^{n-1}+\cdots+a_n=0$ .
(Atiyah/MacDonald, Proposición 2.4, página 21)

La prueba es la siguiente:

Dejemos que $x_1,...,x_n$ sea un conjunto de generadores de $M$ , entonces cada $\phi(x_i)\in\mathfrak a M$ puede escribirse como $\phi(x_i)=\sum_{j=1}^n a_{ij} x_j$ con algunos $a_{ij}\in\mathfrak a$ es decir $$\sum_{j=1}^n(\delta_{ij}\phi-a_{ij})x_j=0$$

Multiplicando a la izquierda por el adjunto de la matriz $(\delta_{ij}\phi-a_{ij})$ se deduce que $\det(\delta_{ij}\phi-a_{ij})$ aniquila cada $x_i$ por lo que es el endomorfismo cero de $M$ . Expandiendo el determinante, tenemos una ecuación de la forma requerida.

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Entiendo la primera parte, pero después de "multiplicando por la izquierda por el adjunto" ya no estoy muy seguro de lo que ocurre. ¿Alguien podría ser tan amable y arrojar algo de luz sobre esto?

Answer 1

Una vez que lo hayas hecho: $$ \sum_{j=1}^n(\delta_{ij}\phi-a_{ij})x_j=0 $$ se puede reescribir como $(I\phi-A)X=0$ , donde $A=(a_{ij})$ , $I=(\delta_{ij})$ y $X=(x_1,\dots,x_n)^T$ . Desde $\text{det}(I\phi-A)I=[\text{adj}(I\phi-A)](I\phi-A)$ multiplicando por $\text{adj}(I\phi-A)$ cuyas entradas están todas en $\text{End}_R(M)$ , da: $$ \text{det}(I\phi-A)x_1=\cdots=\text{det}(I\phi-A)x_n=0 $$ y $\text{det}(I\phi-A)=0\in\text{End}_R(M)$ .

Answer 2

El "adjunto" significa aquí "adjunto clásico". Para una matriz $A$ el adjunto clásico es la matriz cuya $i,j$ La entrada es $(-1)^{i+j} A_{ji}$ , donde $A_{ji}$ significa que el $j,i$ cofactor--el determinante de la matriz obtenido al omitir la fila $j$ y la columna $i$ . La cuestión es que el producto del adjunto clásico y $A$ es una matriz diagonal con $\mathrm{det}(A)$ en la diagonal.