Una definición de la verdad, mal, pero donde

Question

Considerar la teoría ZFC del lenguaje con las conectivas $\neg$, $\rightarrow$, predicativo símbolo $\in$ y el cuantificador $\forall$.

Supongamos que estamos trabajando en ZFC. Deje $\mathcal{V}$ ser la clase de todo el conjunto. Es bien sabido que la noción de satisfacción "$\mathcal{V} \models \varphi$" no puede ser definido. Mi pregunta es "¿de dónde viene la obstrucción de la mentira?". Para ser más específicos, me permiten continuar en algún detalle.

Una tarea es cualquier función cuyo dominio es el conjunto de todas las variables. Supongamos que $s$ es una asignación y $x$ es una variable. A continuación, $s(x|\alpha)$ es una asignación que es el mismo con $s$, pero el valor de $\alpha$$x$.

1. Para cualquier asignación de $s$, las variables de $x$$y$, definir $\mathcal{V} \models_s x \in y$ si $s(x)$ es un elemento de $s(y)$.
2. $\mathcal{V} \models_s \neg \varphi$ si $\mathcal{V} \not \models_s \varphi$ por cada (formal) fórmula $\varphi$.
3. $\mathcal{V} \models_s (\varphi \rightarrow \psi)$ si $\mathcal{V} \not \models_s \varphi$ o $\mathcal{V} \models \psi$.
4. $\mathcal{V} \models_s \forall x \varphi$ si para cada $\alpha$, $\mathcal{V} \models_{(s|\alpha)} \varphi$
5. Definimos $\mathcal{V} \models \varphi$ si $\mathcal{V} \models_s \varphi$ por cada asignación de $s$.

(donde $\mathcal{V} \not \models$ es una abreviatura de "no $\mathcal{V} \models$".)

Parece que el "$\mathcal{V} \models $" ha sido correctamente definido.

Donde está el primer problema, si alguno?

Leyendo los comentarios, me siento como que va a ser útil para hacer una declaración, por lo que puede ser probado o no correcto.

Deje $F$ ser el conjunto de todas las fórmulas. Por el teorema de recursión, para cada asignación de $s$, no es una función $T_s: F \longrightarrow \{0, 1 \}$ con las propiedades

• $T_s (x \in y) = 1$ si y sólo si $s(x) \in s(y)$.
• $T_s (\neg \varphi)$ si y sólo si $T_s (\varphi) = 0$.
• $T_s (\varphi \rightarrow \psi)$ si y sólo si $T_s (\varphi) = 0$ o $T_s(\psi) =1$.
• $T_s (\forall x \varphi)$ si y sólo si para cada $\alpha$, $T_{s(x|\alpha)} \varphi =1$.

Answer 1

Parece que usted está tratando de inductivamente se define una clase de la forma $S = \{(\phi, \vec{x}) : \phi \in \text{Form} \wedge \vec{x} \in V^{\omega} \wedge V \vDash \phi(\vec{x})\}$. Los problemas en la formalización de este inducción dentro de ZFC es en el paso cuatro. La asignación de un valor de verdad a $(\forall v)\phi(v)$ requiere comprobación $\phi(x)$ todos los $x \in V$. No hay manera de formalizar esta en ZFC a través de la habitual esquema de inducción transfinita - Lo corrigió iterativa de la función definida puede ser diagonalized contra. Aunque, se puede formalizar la satisfacción si usted está dispuesto a restringir el mismo a $\Sigma_n$ fórmulas. Creo que Kanamori tiene algunas observaciones sobre esto en el capítulo introductorio de su libro.

Answer 2

Aquí puedo adjuntar una respuesta, porque, aunque no había sido una respuesta exitosa, me toma un tiempo para reconocer lo que es realmente un problema para continuar con el argumento cuando se trata de un modelo que es, posiblemente, una clase adecuada.

A la hora de definir la noción de satisfacción, con un modelo con un universo que es un conjunto(de todos modos, la frase "con un universo que es un conjunto' en realidad es redundante porque a mi el término 'modelo' siempre nos referimos a un conjunto. Esta vez, sin embargo, para dar énfasis.) generalmente hacemos la misma cosa. Sin embargo, todavía hay un problema de definición con el argumento. No podemos dar una 'fórmula' que define la satisfacción porque, puede que necesitemos más cuantificadores anidados para cubrir más complejas fórmulas.

Para resolver este problema, que es, para aplicar el teorema de recursión correctamente, tenemos que lidiar con el powerset del conjunto de todas las posibles asignaciones como un codominio de la recursividad.

• $h(x \in y) = \left\{ s: \textrm{assignment}| s(x) \in s(y) \right\}$ para cada par de variables $x$$y$.

...

• $h(\forall x \varphi) = \left\{ s: \textrm{assignment}| \textrm{for ever $\alpha$ in the universe, $s(x|\alpha) \in h(\varphi)$ } \right\}$

Aquí, usted puede ver que el problema se produce cuando el universo es una clase adecuada. No hay una función de $h$.