¿Por qué el funcionamiento de los conjuntos de energía es intrínsecamente vago?

Question

Es una opinión algo común entre los matemáticos/filósofos (que opinan sobre el tema) que la operación de conjunto de potencias es inherentemente vaga. Continúan diciendo que su vaguedad inherente es la razón principal por la que ciertos enunciados de la teoría de conjuntos son absolutamente indecidible . Por ejemplo, Salomón Feferman , Nik Weaver y Campo de Hartry sostienen explícitamente este punto de vista.

Estoy buscando comprensión para tal punto de vista. En concreto, teniendo en cuenta el significado de que un conjunto sea "determinado" o "vago", me pregunto cuáles son los motivos más convincentes para pensar:

(1): Existe un conjunto totalmente definido X tal que $\mathcal P (X)$ es intrínsecamente vago.

La razón por la que me cuesta entender tal punto de vista es porque parece que la única razón por la que (1) sería cierta es porque una de las dos afirmaciones siguientes:

(2): Existe un conjunto Y tal que no está definido si Y es un subconjunto de X.

(3): Existen elementos de X tales que no está definido si forman un conjunto.

(2) me parece falsa porque la única manera de que Y no sea definitivamente un subconjunto de X, parece, es que exista algún elemento particular $a \in Y$ de tal manera que es inherentemente vago si $a \in X$ . Pero, esto contradice el hecho de que X está totalmente determinado.

(3) me parece falso ya que es una parte integral (es decir, no vaga) de nuestra concepción del conjunto de potencias que cualquier elemento de un conjunto definido X forma un conjunto. Es cierto que, digamos, ZFC no puede capturar esta línea de pensamiento ya que sólo tenemos el Axioma Esquema de Separación que dice que las subclases definibles de un conjunto son conjuntos, pero el pensamiento de que cualquier elemento de un conjunto forma un conjunto es una parte integral de nuestra concepción de conjuntos a pesar de todo. (Se puede notar que (3) es en realidad difícil incluso de enunciar, ya que parece usar cuantificación de segundo orden sobre X, que cuando se interpreta como cuantificación sobre subconjuntos de X, dice "Existe un subconjunto de X, tal que podría no ser REALMENTE un subconjunto". No sé hasta qué punto es persuasivo decir eso para convencer a alguien de que (1) es cierto).

Se agradecería cualquier razón/intuición de por qué (2) o (3) son ciertas, o por qué hay alguna otra razón por la que (1) es cierta. Además, como última pregunta/solicitud de referencia, ¿hay algún intento de ser más preciso desde el punto de vista matemático para tener una teoría de la definitividad? Feferman esboza muy brevemente uno en el artículo enlazado arriba que tiene que ver con la lógica intuicionista, pero no puedo encontrar a nadie que haya intentado trabajar en eso.

Answer 1

Creo que una forma de entender la vaguedad es explorar varias operaciones de conjuntos de potencia diferentes y entender dónde se quedan cortas y dónde se comportan como esperaríamos que se comportaran los conjuntos de potencia. Una forma sencilla es utilizar $\mathbb{N}$ como el dominio del discurso y mirar el conjunto de todos los finito subconjuntos de un conjunto $S$ (que llamaré $\mathcal{P}_f(S)$ ). Está claro que esto no satisface todos los axiomas de ZF, pero hace una imitación notablemente buena de un conjunto de potencias (y, por ejemplo, el conjunto de todos los subconjuntos finitos y cofinitos hace una aún mejor). Una vez que sepas cómo funciona esto y cómo "encaja" con el resto de los axiomas, puedes considerar el conjunto de todos los subconjuntos finitos y cofinitos. construible subconjuntos de $S$ (para su definición favorita de constructible) y tratar de averiguar dónde encajan los problemas. En resumen, gran parte de la vaguedad de los conjuntos de poder se reduce a la noción de lo que constituye un conjunto en primer lugar, y en particular de cómo podemos "construir" conjuntos (y por lo tanto tiene conexiones muy básicas con los axiomas de especificación/reemplazo/comprensión y con la paradoja de Russell).

Answer 2

Eso es realmente un comentario largo que no cabría en la caja:

Creo que la verdadera razón es (3):

Aunque nuestro concepto de conjunto es definitivamente transitivo, es decir, si algo es un conjunto entonces toda colección de elementos de esa cosa debe ser un conjunto, eso no es cierto siempre, porque, como has dicho, sólo tenemos el axioma de separación para las fórmulas de primer orden. Si tuviéramos un axioma de separación general, por ejemplo, no necesitaríamos el axioma de elección:

Si $\mathcal{F}$ es familia y podemos extraer subconjuntos como queramos, podemos recoger un subconjunto de $\mathcal{P}(\mathcal{F})$ que contiene un elemento de cada elemento de $\mathcal{F}$ .

Un caso en el que ocurre (1) es el problema de definir una función de elección en ZF: El conjunto de potencias y las separaciones no son lo suficientemente potentes como para determinar si podemos formar una función de elección (es decir, especificar un determinado subconjunto del conjunto de potencias de la familia)

Answer 3

Veamos primero (al menos una interpretación "semiformal") el axioma del conjunto de potencias (extraído del libro de Suppes "Axiomatic Set Theory" que se encuentra en la edición de Dover en la página 47):

( $\exists$ B)( $\forall$ C)(C $\in$ B si C $\subseteq$ A).

La pregunta es:

"¿Cómo se debe interpretar '( $\forall$ C)" en el axioma?"

A todos los efectos, hay dos maneras de interpretar '( $\forall$ C)" en el axioma:

i) como '(todas las C posibles)', o como ii) '(todas las C en un determinado dominio del discurso)'-en este caso un modelo de ZFC.

Cabe señalar que no hay manera de definir (i) en la lógica de primer orden. Eso nos deja con (ii), que restringe '( $\forall$ C)'para abarcar los dominios de varios y diversos modelos de ZFC (modelos internos, extensiones forzadas,....). Dado que (ii) no permite hablar de que todos los posibles subconjuntos de A se reúnan en un único conjunto, a saber, B, $\mathscr P$ (A) se considera... vago.