Número o regiones que forman al $n$ puntos en un círculo que se unen

Question

El número máximo $R_{n}$ de las regiones que forman al $n$ puntos en un círculo que se unen de dos en dos es $\frac{1}{24}\left(n^{4}-6n^{3}+23n^{2}-18n+24\right)$.

Este es un hecho que he leído en varios ensayos sobre los peligros de saltar a conclusiones en las matemáticas.

En su opinión, ¿cuál es la más rápida (y/o mejores) para demostrar esta fórmula?

El profesor Paul Zeitz explica en alguna parte sobre todo de una manera convincente para abordar esta perla a raíz de una idea que un estudiante de secundaria en uno de sus discursos (conferencias?) ocurrió; sin embargo, no recuerdo donde fue que comencé a leer esto...

Permítame darle las gracias de antemano por sus interesantes respuestas.

Answer 1

Tenga en cuenta que el número de segmentos de línea creado por la conexión de $n$ $\binom{n}{2}$ (uno por cada par de puntos) y el número de puntos de intersección es $\binom{n}{4}$ (uno por cada cuatro puntos). Sin puntos, tenemos una región. Cada vez que se agrega un segmento de línea con $k$ intersecciones, añadimos $k+1$ regiones (por la división de $n+1$ regiones); piense en esto como una región para cada segmento de línea y una región para cada intersección. Por lo tanto, el número de regiones es $$ \binom{n}{4}+\binom{n}{2}+\binom{n}{0}\etiqueta{1} $$

---

Desde $\binom{n}{k}=0$$n\gt k$, podemos escribir $$ 2^n=(1+1)^n=\sum_{k=0}^\infty\binom{n}{k}\etiqueta{2} $$ y de la misma manera $$ 0^n=(1-1)^n=\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\binom{n}{k}\etiqueta{3} $$ La adición de $(2)$ $(3)$ y dividiendo por $2$ rendimientos $$ 2^{n-1}=\sum_{k=0}^\infty\binom{n}{2k}\etiqueta{4} $$ Por lo tanto, para $1\le n\le5$, tenemos $$ \binom{n}{4}+\binom{n}{2}+\binom{n}{0}=2^{n-1}\etiqueta{5} $$ Sin embargo, este patrón se rompe por $n\ge6$; esto es debido a que el $k=3$ plazo de $(4)$ no $0$.

Por lo tanto, usando el lado derecho de la $(5)$ a responder a la pregunta sobre la división en el interior de un círculo sólo funciona hasta cierto punto. Además, dado que la respuesta correcta para $6$$31$, los estudiantes tienden a contar el número de regiones en su dibujo varias veces.

Answer 2

Una rápida prueba de la fórmula funciona utilizando (Euler) poliedro teorema.

En la foto tenemos a $\binom{n}4$ intersecciones dentro y $n$ a lo largo del círculo; esto es $V=\binom{n}4+n$ vértices.

El grado de cada límite vértice es $n+1$ ($2$ los arcos y las $n-1$ diagonales); interior de cada punto de intersección tiene un grado $4$. Así, la suma de los grados en el gráfico es $n\cdot(n+1)+\binom{n}4\cdot 4$, y por lo tanto el número de aristas es $E=\frac12\left( n\cdot(n+1)+\binom{n}4\cdot 4 \right) = \frac{n(n+1)}2 +2\binom{n}4$.

Si hay $R$ regiones en el interior del círculo y uno fuera, a continuación, el poliedro teorema da $(R+1) + V = E +2$, por lo que $$ R = 1+E-V = 1 +\left(\frac{n(n+1)}2+2\binom{n}4\right) - \left(\binom{n}4+n\right) = 1+\binom{n}2+\binom{n}4. $$