Un bonito límite $\lim_{m\to\infty}\left(\left(\sum_{n=1}^{m}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n-1}\frac{(-1)^k}{k}\right)+\log(2)H_m\right)$

Question

Estoy seguro de que para muchos de ustedes este es un límite bastante fácil de calcular, pero mi preocupación aquí es un poco diferente, y me gustaría saber si puedo calcularlo sin usar funciones especiales. ¿Tenéis en mente alguna forma de hacerlo?

$$\lim_{m\to\infty}\left(\left(\sum_{n=1}^{m}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n-1}\frac{(-1)^k}{k}\right)+\log(2)H_m\right)$$

Answer 1

$$ \begin{align} \lim_{m\to\infty}\left(\sum_{n=1}^m\sum_{k=1}^{n-1}\frac{(-1)^k}{nk}+H_m\log(2)\right) &=\lim_{m\to\infty}\sum_{n=1}^m\sum_{k=n}^\infty\frac{(-1)^{k-1}}{nk}\\ &=\sum_{n=1}^\infty\sum_{k=n}^\infty\frac{(-1)^{k-1}}{nk}\\ &=\sum_{k=1}^\infty\sum_{n=1}^k\frac{(-1)^{k-1}}{nk}\\ &=\sum_{k=1}^\infty(-1)^{k-1}\frac{H_k}k\\ &=\frac12\zeta(2)-\frac12\log(2)^2 \end{align} $$ el último paso es de esta respuesta donde sólo se utilizan manipulaciones en serie, sin funciones especiales.