Es posible evitar la redundancia en una obra fundacional?

Question

Imaginemos que estamos desarrollando toda la matemática a partir de cero. Nos situamos sobre el uso de un conjunto teórico de la fundación.

En los comienzos, podemos afirmar que un par ordenado $(x,y)$ puede abreviarse $xy$ cuando no hay ambigüedad, y definimos que una relación es un conjunto de pares ordenados (como alternativa, un subconjunto de un producto Cartesiano). Además, para cualquier relación $f$, podemos definir que el $f\langle X \rangle = \{y \,|\,\exists x \in X : xy \in f\}$. Vamos a probar la proposición de que $f\langle X \cup Y \rangle = f\langle X \rangle \cup f\langle Y \rangle$.

Un poco más tarde en la pieza, que estamos buscando a powersets e ideas afines. Definimos que $\beta$ denota la relación de inclusión (una clase adecuada). Por lo $\beta^{-1}\langle \{Y\}\rangle$ denota el powerset de $Y$. Simbólicamente, $\beta^{-1}\langle \{Y\}\rangle = \mathcal{P}(Y)$. Y de ello se deduce fácilmente que el $\beta^{-1}\langle \{Y,Z\} \rangle = \mathcal{P}(Y) \cup \mathcal{P}(Z)$, por nuestra proposición.

Sin embargo, el párrafo anterior es falso. La expresión $\beta^{-1}\langle \{Y\}\rangle$ no es necesario indicar el powerset de $Y$, porque no hemos definido el significado de esta expresión en el caso de que $\beta^{-1}$ es una clase adecuada. Por lo tanto, tenemos que incluyen "redundante" de la definición. Para empeorar las cosas, nuestra propuesta fue sólo resultó para todas las relaciones, que no son propiamente las relaciones de clase. Así que ahora tenemos un "redundante" de la proposición (copiar-y-pegar la prueba!).

Claramente, esto es muy tonto. Ahora la solución obvia es que han permitido que las relaciones son buenas clases en el primer lugar. Pero esto sólo empuja el problema; ahora, es que las relaciones entre apropiado clases que nuestra propuesta ha perdido. Por lo tanto, todavía tenemos que lidiar con la redundancia. Mi pregunta es, ¿cómo podemos asegurarnos de que nuestras definiciones o proposiciones no necesita ser "dobladas".

Answer 1

Llegas a tener un problema porque quiere algo que funcione tanto para las clases y conjuntos, pero en $\mathsf{ZFC}$ hay una gran diferencia entre clases y conjuntos. El último es un objeto mientras que el primero podría no ser un objeto real del universo.

Una manera de salir es hablar de "colecciones", sin especificar si se trata de una clase o un conjunto, pero esto no es totalmente exacto, porque no es bien definida la noción de una colección. Por ejemplo, uno puede hablar de la colección de todas las clases, pero esta colección no es ni un juego ni una clase. Es un metatheoretical, o tal vez metamathematical noción.

Otra forma es definir las cosas de una forma esquemática de una manera similar a la forma en que se escribe el reemplazo del esquema. Cuando una fórmula define algo tal y tal, entonces es una relación. Pero esta demasiado cantidades de los argumentos en la metatheory, porque ahora no podemos realmente decir "Cualquier bien ordenada la relación en $\omega$ tiene un segmento inicial isomorfo a $\langle\omega,\in\rangle$". Debido a que esta es una declaración acerca de todas las relaciones, pero las relaciones no son colecciones de pares ordenados, son definibles colecciones. Así que esta es una prueba en la metatheory ir a todas las fórmulas.

(Es posible que hay una manera de superar esta dificultad y escribir una fórmula que genera automáticamente las relaciones sobre un conjunto determinado, sin una apelación a un metatheoretical argumento, pero no lo veo ahora.)

Así que estamos de nuevo atascado. Hay otra forma de salir, simplemente de una teoría cuyo espectro incluye clases. Algo como $\mathsf{NBG}$ que es un conservador extensión de $\mathsf{ZFC}$ (no probar nuevos teoremas acerca de conjuntos), y permite que las clases. También se puede considerar el uso de la Tarski-Grothendieck la teoría de conjuntos con universos, que es aproximadamente el mismo que $\mathsf{ZFC}$+"no es una clase adecuada inaccesibles de los cardenales". Esto nos permite tratar como en las clases de conjuntos de otro universo, de modo que las definiciones ir sin problemas, pero tenga en cuenta que la consistencia de la fuerza de esta teoría es más fuerte que la utilización del $\mathsf{ZFC}$.

Por último, uno puede decidir el uso de enfoques modernos de fundaciones como tipo de la teoría de los enfoques basados en, por ejemplo, $\mathsf{SEAR}$ u otras estructural conjunto de teorías como la $\mathsf{ETCS}$. Esos podrían ser proclives a sus propios problemas, pero no puedo decir realmente lo que estos problemas podría ser debido a una falta de conocimiento sobre el tema.

A partir de la meta-matemática punto debo añadir que no nos escriben a menudo concreto de las pruebas. Escribimos los esquemas de pruebas. Cada vez que nos decimos un par ordenado que en realidad no hablar de $\{\{a\},\{a,b\}\}$. Podemos decir realmente "fix $\varphi_p(x,y,z)$ que afirma que $z$ tiene las propiedades requeridas del par ordenado $\langle x,y\rangle$...", a continuación, cada vez que se refieren a los pares ordenados que se refieren a esta fórmula. Pero esto no es realmente dependiente en la fórmula actual.

Lo mismo para las funciones que se pueden necesitar diferentes definiciones, y el proceso se va de la misma. Por supuesto que a menudo toman la unión de funciones, pero se puede redefinir esta operación tan bien y todo funciona como antes, aunque ahora es algo engorroso.

En este aspecto no hay ninguna razón para esperar una adecuada prueba de la "falta de redundancia", y cuando hablamos de las relaciones de clase solemos tratar a las pruebas de manera esquemática. Sabemos que la prueba funciona porque las relaciones tienen la quería propiedades y, a continuación, que en realidad no importa.

Como el final de la línea implica, tenemos que comprobar que la relación que tenemos la intención de utilizar las propiedades que caben en el esquema tenemos la intención de usar. Por ejemplo fundamento o conjunto de propiedades.

---

Leer más:

1. la diferencia entre la clase de conjunto, de la familia y de la colección de
2. La diferencia entre una clase y un conjunto
3. ¿Qué puedo hacer con la debida clases?