Cuando es posible disponer de $f(x+y)=f(x)+f(y)+g(xy)$?

Question

De acuerdo a la pregunta que se mencionan aquí, parece que no hay ninguna función $f(x)$ tales que la ecuación funcional

$$f(x+y)=f(x)+f(y)-(xy-1)^2$$

puede contener. Motivados por esta pregunta, me pareció interesante manera de extender la pregunta.

Qué condiciones se requieren para una función determinada, $g(x)$ tal que existe una función de $f(x)$ que puede satisfacer la siguiente igualdad $$f(x+y)=f(x)+f(y)+g(xy)$$ donde $f(x)$ $g(x)$ son reales valores de las funciones de variable real.

Cualquier sugerencia o ayuda es muy apreciada. :)

Answer 1

Si $f$ no es diferenciable, todavía tenemos $f((x+y)+z)=f(x+(y+z))$, de la que sigue

$$g(xy)+g(xz+yz)=g(xy+xz)+g(yz)\tag{1}$$

Por cambio de variables

$$x=\sqrt{\frac{ab}{c}}, \quad y=\sqrt{\frac{ca}{b}}, \quad z=\sqrt{\frac{bc}{a}}\tag{2}$$

esto se convierte en

$$g(a)+g(b+c)=g(a+b)+g(c)\tag{3}$$

siempre que $abc>0$.

Por el cambio de las variables de $(a,b,c)\to(a+b,-b,b+c)$ también podemos mover $-b$ en todo lo que tiene para todos los $abc\neq0$. Entonces

$$g(a+b)+g(b-b)=g(a)+g(b)\tag{4}$$

por lo $h(x)=g(x)-g(0)$ satisface $$h(a+b)=h(a)+h(b)\tag{5}$$ Esto tiene el bien conocidas las soluciones de $h(x)=kx$, y algunos muy discontinua.

Answer 2

Si $f$ es diferenciable, a continuación, tomar la derivada con respecto al $x$ tenemos

$$f'(x+y)=f'(x)+yg'(xy).$$ Now, taking the derivative with respect to $y$ one has $$f''(x+y)=g'(xy)+xyg''(xy).$$ If $y=-x$ then $$g'(-x^2)-x^2g''(-x^2)=f''(0).$$ If we denote $t=-x^2$ we have $$tg''(t)+g'(t)-f''(0)=0.$$ Solving the ODE we get $$g(t)=f''(0)t+a\ln t+b,$$ where $a,b$ are arbitrary constants. If we want that $g$ is defined for all $t$ it must be $a=0.$ So $$g(t)=f''(0)t+b.$$ Now, from $$f''(x+y)=g'(xy)+xyg''(xy)$$ we get that $$f''(x+y)=f''(0).$$ So the second derivative of $f$ must be constant. That is, $f$ is a second degree polynomial. It only remain which polynomials of degree two can be a solution. It is a straightforward computation to check that any $f(x)=ax^2+bx+c$ is a solution with $g(x)=2ax-c.$